一元二次方程讲义全Word文档下载推荐.doc
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例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是()
AB C D
变式:
当k时,关于x的方程是一元二次方程。
例2、方程是关于x的一元二次方程,则m的值为。
考点二、方程的解
⑴概念:
使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。
⑵应用:
利用根的概念求代数式的值;
例1、已知的值为2,则的值为。
例2、关于x的一元二次方程的一个根为0,则a的值为。
说明:
任何时候,都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.
例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足,则此方程必有一根为。
本题的关键点在于对“代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知是方程的两个根,是方程的两个根,则m的值为。
例5、已知,,,求
若,,则的值为。
6、方程的一个根为()
AB1CD
7、若。
考点三、方程解法
(1)基本思想方法:
解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
(2)方法:
①直接开方法;
②因式分解法;
③配方法;
④公式法
类型一、直接开方法:
就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如
※对于,等形式均适用直接开方法
例1、解方程:
(2)
(4)(5)
例2、解关于x的方程:
3.下列方程无解的是()
A.B.C.D.
类型二、配方法
基本步骤:
1.先将常数c移到方程右边2.将二次项系数化为1
3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式:
※在解方程中,多不用配方法;
但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
例1、试用配方法说明的值恒大于0,的值恒小于0。
例2、已知x、y为实数,求代数式的最小值。
若,则t的最大值为,最小值为。
例3、已知为实数,求的值。
变式1:
已知,则.
变式2:
如果,那么的值为。
例4、分解因式:
类型三、因式分解法:
把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法
※方程特点:
左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,
※方程形式:
如,,
※分解方法:
提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法
针对练习:
例1、的根为()
ABCD
例2.
(1)(平方差)
(2)(提公因式)
(3)(平方差)(4)(完全平方式)
(5)(完全平方式)(6)(十字相乘法)
(7)(十字相乘法)(8)(提公因式)
例3、若,则4x+y的值为。
例4、方程的解为()
A.B.C.D.
例5、解方程:
例6、已知,则的值为。
已知,且,则的值为。
例7、解下列方程
(1)(2x–3)2=(3x–2)2
(2)-=x+2
(4)5m2–17m+14=0(5)(x2+x+1)(x2+x+12)=42
类型四、公式法:
把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式的值,当判别式大于等于零时,把各项系数a,b,c的值代入求根公式,就可得到方程的根。
⑴条件:
⑵公式:
例1、选择适当方法解下列方程:
⑴⑵⑶
⑷⑸
解一元二次方程时,首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法;
一般不选择配方法。
类型五、“降次思想”的应用
主要内容:
⑴求代数式的值;
⑵解二元二次方程组。
例1、已知,求代数式的值。
例2、如果,那么代数式的值。
例3、已知是一元二次方程的一根,求的值。
在运用降次思想求代数式的值的时候,要注意两方面的问题:
①能对已知式进行灵活的变形;
②能利用已知条件或变形条件,逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂,最后求解。
例4、用两种不同的方法解方程组
解二元二次方程组的具体思维方法有两种:
①先消元,再降次;
②先降次,再消元。
但都体现了一种共同的数学思想——化归思想,即把新问题转化归结为我们已知的问题.
考点四、根与系数的关系
⑴前提:
对于而言,当满足①、②时,才能用韦达定理。
⑵主要内容:
⑶应用:
整体代入求值。
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根,则这个直角三
角形的斜边是()
A.B.3C.6D.
要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系,必须熟练掌握、、、之间的运算关系.
例2、解方程组:
一些含有、、的二元二次方程组,除可以且代入法来解外,往往还可以利用根与系数的关系,将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时,后者显得更为简便.
例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根,
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?
若存在,求出k的值;
若不存在,请说明理由。
例4、当取何值时,方程的根与均为有理数?
例5、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时,小明因看错常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1。
你知道原来的方程是什么吗?
其正确解应该是多少?
例6、已知,,,求
例7、已知是方程的两个根,那么.
测试题目:
一、选择题
1.解方程:
3x2+27=0得(
).
(A)x=±
3
(B)x=-3
(C)无实数根
(D)方程的根有无数个
2.方程(x-1)2=4的根是(
(A)3,-3
(B)3,-1
(C)2,-3
(D)3,-2
二、填空
3.方程9x2=25的根是___________.
4.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________.
5.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________.
6.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.
7.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=________.
三、用适当的方法解下列关于x和y的方程
(x+2)(x-2)=1.
(3x-4)2=(4x-3)23x2-4x-4=0.
x2+x-1=0.
x2+2x-1=0.
(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.
8.用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.
(A)因式分解法
(B)配方法(C)公式法
9.解关于x的方程:
x2-2x+1-k(x2-1)=0
10.已知|2m-3|=1,试解关于x的方程3mx(x+1)-5(x+1)(x-1)=x2
11、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对此回答:
(1)当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润。
(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
12、将一条长20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能,求出两段铁丝的长度;
若不能,请说明理由。
(3)两个正方形的面积之和最小为多少?
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