浙江专版高中数学第三章不等式32一元二次不等式及其解法学案新人教A版必修5.docx
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浙江专版高中数学第三章不等式32一元二次不等式及其解法学案新人教A版必修5
3.2
第一课时 一元二次不等式及其解法
预习课本P76~78,思考并完成以下问题
(1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式?
(2)如何求解一元二次不等式?
(3)三个“二次”指的是哪三个“二次”?
它们之间有何关系?
1.一元二次不等式
我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,即形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式.
2.一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集.
3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=-
没有实数根
ax2+bx+c>0(a>0)的解集
或x>x2}
R
Δ=b2-4acax2+bx+c<0(a>0)
的解集
∅
∅
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)mx2-5x<0是一元二次不等式( )
(2)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解( )
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2(x1 (4)不等式x2-2x+3>0的解集为R( ) 解析: (1)错误.当m=0时,是一元一次不等式;当m≠0时,它是一元二次不等式. (2)错误.因为a>0,所以不等式ax2+1>0恒成立,即原不等式的解集为R. (3)错误.当a>0时,ax2+bx+c<0的解集为{x|x1 (4)正确.因为Δ=(-2)2-12<0,所以不等式x2-2x+3>0的解集为R. 答案: (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.不等式x(2-x)>0的解集为( ) A.{x|x>0} B.{x|x<2} C.{x|x>2或x<0}D.{x|0<x<2} 解析: 选D 原不等式化为x(x-2)<0,故0<x<2. 3.不等式x2-2x-5>2x的解集是( ) A.{x|x≥5或x≤-1}B.{x|x>5或x<-1} C.{x|-1 解析: 选B 由x2-2x-5>2x,得x2-4x-5>0, 因为x2-4x-5=0的两根为-1,5, 故x2-4x-5>0的解集为{x|x<-1或x>5}. 4.不等式-3x2+5x-4>0的解集为________. 解析: 原不等式变形为3x2-5x+4<0. 因为Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0, 所以由函数y=3x2-5x+4的图象可知,3x2-5x+4<0的解集为∅. 答案: ∅ 一元二次不等式解法 [典例] 解下列不等式: (1)2x2+5x-3<0; (2)-3x2+6x≤2; (3)4x2+4x+1>0; (4)-x2+6x-10>0. [解] (1)Δ=49>0,方程2x2+5x-3=0的两根为x1=-3,x2=, 作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①所示. 由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0.Δ=12>0,解方程3x2-6x+2=0,得x1=,x2=, 作出函数y=3x2-6x+2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为. (3)∵Δ=0,∴方程4x2+4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=-.作出函数y=4x2+4x+1的图象如图所示. 由图可得原不等式的解集为 . (4)原不等式可化为x2-6x+10<0,∵Δ=-4<0, ∴方程x2-6x+10=0无实根,∴原不等式的解集为∅. 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根; (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集. [活学活用] 已知集合M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-6>0},则M∩N为( ) A.{x|-4≤x<-2或3<x≤7} B.{x|-4<x≤-2或3≤x<7} C.{x|x≤-2或x>3} D.{x|x<-2或x≥3} 解析: 选A ∵M={x|x2-3x-28≤0} ={x|-4≤x≤7}, N={x|x2-x-6>0}={x|x<-2或x>3}, ∴M∩N={x|-4≤x<-2或3<x≤7}. 三个“二次”关系的应用 [典例] (1)若不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b的值为( ) A.14 B.-10 C.10D.-14 (2)已知一元二次不等式x2+px+q<0的解集为,求不等式qx2+px+1>0的解集. [解析] (1)由已知得, ax2+bx+2=0的解为-,,且a<0. ∴解得 ∴a+b=-14. [答案] D (2)解: 因为x2+px+q<0的解集为,所以x1=-与x2=是方程x2+px+q=0的两个实数根, 由根与系数的关系得解得 所以不等式qx2+px+1>0即为-x2+x+1>0,整理得x2-x-6<0,解得-2<x<3. 即不等式qx2+px+1>0的解集为{x|-2<x<3}. (1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标. (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分,是由不等式ax2+bx+c>0的x的值构成的;图象在x轴下方的部分,是由不等式ax2+bx+c<0的x的值构成的,三者之间相互依存、相互转化. [活学活用] 1.若不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为(-2,1),则函数y=f(x)的图象为( ) 解析: 选B 因为不等式的解集为(-2,1),所以a<0,排除C、D,又与坐标轴交点的横坐标为-2,1,故选B. 2.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2 解: 由题意知即 代入不等式cx2-bx+a>0, 得6ax2+5ax+a>0(a<0). 即6x2+5x+1<0,解得- 所以所求不等式的解集为. 解含参数的一元二次不等式 [典例] 解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0. [解] 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a,函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,则当a<-1时,原不等式解集为{x|a<x<-1}; 当a=-1时,原不等式解集为∅; 当a>-1时,原不等式解集为{x|-1<x<a}. 解含参数的一元二次不等式时的注意点 (1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论; (2)若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式Δ进行讨论; (3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论. [活学活用] 设a∈R,解关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0. 解: (1)当a=0时,不等式可化为x-2>0,解得x>2,即原不等式的解集为{x|x>2}. (2)当a≠0时,方程ax2+(1-2a)x-2=0的两根分别为2和-.
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