数值分析李庆扬第7章非线性方程与方程组的数值解法PPT文档格式.ppt
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,取步长,进行搜索计算:
方程的有根区间为,,2022年10月7日,7,7.1.2二分法,计算方法:
计算区间中点函数值,若,则根为,,计算区间端点函数值、,否则:
时,;
时,;
2022年10月7日,8,反复计算,直到,,(预定的精度),最终取值:
。
误差:
取有根区间的中点(二分次数),作为近似根,则:
特点:
算法简单,可保证收敛,但收敛太慢。
用于求近似解。
2022年10月7日,9,P214例2求方程在区间内的一个实根,要求准确到小数点后的第二位。
注:
,即,,,2022年10月7日,10,7.2不动点迭代法及其收敛性,7.2.1不动点与不动点迭代法,将方程改写成等价形式:
若要求满足,则;
反之亦然。
称为函数的一个不动点。
因此,求的零点就等价于求的不动点。
2022年10月7日,11,选择一个初始近似值,代入迭代函数:
将新值作为近似值,再次代入迭代函数:
反复迭代,迭代方程:
,,迭代存在极限:
不动点迭代法:
则称迭代方程收敛,且为的不动点。
2022年10月7日,12,实质:
将隐式方程,通过迭代逐步显式化逐次逼近法。
几何意义:
直线与曲线,其交点横坐标就是方程的根。
逐次逼近:
(迭代收敛),2022年10月7日,13,P215例3求方程在附近的根。
迭代公式,,,注意:
如果迭代公式为,则迭代发散。
2022年10月7日,14,7.2.2不动点的存在性与迭代法的收敛性,定理1设函数满足以下两个条件:
(1)对于任意,有,
(2)存在正常数,使对任意都有,(迭代函数在上),(迭代函数的增量小于自变量的增量),则在上存在唯一的不动点。
2022年10月7日,15,证明:
先证不动点存在性。
若,或:
则在上存在不动点。
(不动点特点),因,以下设及,定义:
显然,且满足,,,由连续函数性质可知:
存在使,即,为的不动点。
2022年10月7日,16,再证唯一性。
设及都是的不动点,则:
引出矛盾。
故的不动点只能是唯一的。
在的不动点唯一的情况下,可得到迭代法收敛的充分条件。
收敛到的不动点,并有误差估计,2022年10月7日,17,定理2设函数满足以下两个条件:
(1)对于任意,有,
(2)存在正常数,使对任意都有,则对任意:
由得到的迭代序列,2022年10月7日,18,证明:
设是在上的唯一不动点。
由定理条件
(1)可知:
由定理条件
(2)可得:
反复应用上述结论:
因:
故当时,,序列收敛到。
2022年10月7日,19,再由定理条件
(2)得:
如此反复递推得:
于是对于任意正整数有:
在上式令,注意到:
2022年10月7日,20,讨论一:
因正常数未知,上述误差估计无法使用。
对于任意正整数有:
令可得:
即:
只要相邻两次计算结果的偏差足够小,就能保证近似值具有足够的精度。
2022年10月7日,21,讨论二:
在某些情形下可求得。
如果且对任意有,则,由中值定理可得:
对有,因此,可将上述定理和定理中的条件
(2)改为:
2022年10月7日,22,P215例3求方程在附近的根。
例如:
(1)当时,在区间有:
由定理2可得:
迭代法是收敛的。
(2)当时,在区间有:
不满足定理的条件,无法保证迭代收敛。
2022年10月7日,23,7.2.3局部收敛性与收敛阶,对于区间上的任意,所产生的迭代序列都收敛,,称为全局收敛。
实际应用时,通常只在不动点邻居考察其收敛性,,称为局部收敛。
定义1设有不动点,如果存在的某个领域:
对任意,迭代产生序列,且收敛到,,则称迭代法局部收敛。
且,则迭代法局部收敛。
定理3设为的不动点,在的某个领域连续,,2022年10月7日,24,证明:
由连续函数的性质,存在的某个领域:
使对于任意有下式成立:
此外,对于任意,总有,这是因为:
依据定理2:
迭代过程对于任意均收敛。
2022年10月7日,25,P218题4用不同方法求方程的根。
这里,,可改写成不同的等价形式,其不动点为,
(1),,,,,
(2),,,,,2022年10月7日,26,(3),,,,,(4),,,,,取,对上述4种迭代法,计算三步的结果如下表。
2022年10月7日,27,说明:
精确值,,迭代法
(1)和
(2)不收敛,迭代法(3)和(4)收敛;
迭代法(4)中比迭代法(3)小,,迭代法(4)比迭代法(3)收敛速度快。
2022年10月7日,28,定义2设迭代过程收敛于方程的根,,如果当时迭代误差满足渐进关系式,,常数,则称该迭代过程是阶收敛的。
特别地,时称为线性收敛,,时为超线性收敛,时为平方收敛。
2022年10月7日,29,定理4对于迭代过程及正整数,,如果在所求根的邻近连续,且,则该迭代过程在点邻近是阶收敛的。
证明:
由于,根据定理3可得:
迭代过程具有局部收敛性。
再将在根处泰勒展开,利用定理条件:
2022年10月7日,30,,在与之间,注意到,:
因此对迭代误差,当时有:
这表明迭代过程确实为阶收敛。
迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数的选取。
2022年10月7日,31,说明,定理表明:
如果时:
则该迭代过程只可能是线性收敛的。
在例4中:
迭代法(3)的,故它只能是线性收敛;
迭代法(4)的,迭代为二阶收敛。
2022年10月7日,32,7.3迭代收敛的加速方法,7.3.1埃特金加速收敛方法,设是根的某个近似值,用迭代公式迭代一次:
由微分中值定理:
(在与之间),假定变化不大:
,,2022年10月7日,33,将校正值再迭代一次:
因而有:
消去:
可推得:
注意:
上式是对两次迭代值加权平均后的结果,可加速迭代;
适用任何求根序列,不只局限于不动点迭代序列。
已知求根序列,其三个相邻值为,2022年10月7日,34,埃特金加速法(加速法):
加速计算,得到新值,,,,,点的一阶差分;
点的二阶差分;
可以证明:
新序列的收敛速度比的收敛速度快,2022年10月7日,35,7.3.2斯特芬森迭代法,把埃特金加速法与不动点迭代结合,就可得到斯特芬森迭代法:
斯特芬森迭代法是将两步迭代合成一步得到的:
2022年10月7日,36,斯特芬森迭代法思路:
为求解的根,令:
已知的近似值及,其误差分别为:
把误差“外推到零”:
即过及两点做线性插值函数,,它与轴交点就是。
2022年10月7日,37,即求解方程:
其解为:
2022年10月7日,38,定理5对于斯特芬森迭代法,若为迭代函数的不动点,则也为的不动点。
反之,若为的不动点,设存在,,则也是的不动点,且斯特芬森迭代法是二阶收敛的。
2022年10月7日,39,P221例5用斯特芬森法求解方程。
用迭代公式求解方程是发散的。
改进上述迭代公式,斯特芬森迭代法:
,,因,,2022年10月7日,40,P222例6求方程在中的解。
由方程得,并取对数,可构造迭代法,且时,由定理2此迭代法是收敛的。
若取迭代16次得,有六位有效数字。
若用斯特芬森迭代法加速:
2022年10月7日,41,7.4牛顿法,7.4.1牛顿法及其收敛性,牛顿法基本思想:
将非线性方程转化线性方程求解。
设已知方程有近似根,,将函数在点展开,于是方程可近似表示为,这是个线性方程,其根为(牛顿法),2022年10月7日,42,牛顿法的几何解释:
方程的根为,曲线与轴交点的横坐标。
设是根的某个近似值,,过曲线上点引切线,,切线与轴交点的横坐标作为新解,切线方程:
(点斜式方程),其根为牛顿法的近似解切线法。
2022年10月7日,43,讨论:
牛顿法的收敛性。
,,假定是的一个单根:
,,代入上式,可得:
,,因此:
牛顿法在根邻近是平方收敛的。
2022年10月7日,44,P223例7用牛顿法解方程。
牛顿公式为,取迭代初值,2022年10月7日,45,牛顿法计算步骤:
第一步准备:
选定初值,,计算,,第二步迭代:
迭代一次,,计算,,第三步控制:
计算迭代误差,(控制常数),,当时,,当时,2022年10月7日,46,否则以代替,,或者,则方法失败;
第四步修改:
如果迭代次数达到预先指定的次数,,如果满足:
或(、允许误差),则迭代收敛,以作为所求的根,否则转第四步。
转第二步继续迭代。
2022年10月7日,47,7.4.2牛顿法应用举例,对于给定正数,开方计算,转变为应用牛顿法解方程。
,,可以证明:
对于任意初值迭代都收敛。
2022年10月7日,48,证明:
由迭代公式:
两式相除:
反复递推:
2022年10月7日,49,假设:
解出:
因此:
对于任意,总有,,当时,即迭代过程恒收敛。
迭代函数为,要求,2022年10月7日,50,7.4.3简化牛顿法与牛顿下山法,牛顿法缺点:
每次迭代都要计算及,有时计算困难。
初始值在根附近才能保证收敛,取值不合适可能不收敛。
(1)简化牛顿法(平行弦法),迭代公式为,其中常量,并保证迭代收敛,,即,若上式在根附近成立,则该迭代法局部收敛。
2022年10月7日,51,若取为处之值,则有简化牛顿法,特点:
节省了计算量,但只有线性收敛。
用斜率为的平行弦,与轴的交点作为的近似。
2022年10月7日,52,
(2)牛顿下山法,问题:
牛顿法的收敛性依赖于初值。
用牛顿法求解方程,公式:
如果:
取迭代初值,,,,,如果:
取迭代初值,,,,结果偏离了根,2022年10月7日,53,为防止迭代发散,要求迭代过程具有单调性,下山法,牛顿下山法:
下山法保证函数值稳定下降,牛顿法加速收敛,先用牛顿法初步迭代,在将近似值与加权平均,其中下山因子:
2022年10月7日,54,下山因子选择:
从开始,逐次减半试算,,直到满足下山法要求,例如:
求解方程,牛顿下山法公式为,当,时,求得,且,结果不满足下山法要求,无法继续迭代,需改进值。
2022年10月7日,55,逐次对减半试算:
当时,求得,以为初值,取,迭代收敛,注意:
下山因子减半试算,只为确定使迭代收敛的初值。
2022年10月7日,56,7.4.4重根情形,设,整数,,则为方程的重根,此时有:
方法1:
只要仍可用牛顿法,此时迭代函数为,其导数为,,且,所以牛顿法求重根只是线性收敛。
2022年10月7日,57,改进迭代函数,此时有,因此,用改进的迭代公式求重根具有二阶收敛性。
改进的迭代公式为,缺点:
需要知道的重根数。
2022年10月7日,58,方法2:
重新构造求重根的迭代法,
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