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741二项分布
7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
基础过关练
题组一 伯努利试验及其概率计算
1.n重伯努利试验应满足的条件:
①各次试验之间是相互独立的;
②每次试验只有两种结果;
③各次试验成功的概率是相同的;
④每次试验发生的事件是互斥的.
其中正确的是( )
A.①②B.②③
C.①②③D.①②④
2.(2020天津河北区高三下模拟)某同学通过普通话二级测试的概率是
若该同学连续测试3次(各次测试互不影响),则只有第3次通过的概率是( )
A.
B.
C.
D.
3.(2020辽宁抚顺六校协作体高一上期末)已知袋中有3个红球,n个白球,有放回地摸球2次,则恰好第1次摸到红球且第2次摸到白球的概率是
则n=( )
A.1B.2C.6D.7
4.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是
、
.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)若甲连续射击,命中为止,求甲恰好射击3次结束射击的概率;
(2)若乙连续射击,直至命中2次为止,求乙恰好射击3次结束射击的概率.
题组二 二项分布的分布列及概率计算
5.设随机变量X~B
则P(X=3)等于( )
A.
B.
C.
D.
6.(2020四省八校双教研联盟高三上联考)设随机变量X~B
则P(2 7.(2019山西临汾一中高二下期中)某处有3个水龙头,调查表明每个水龙头被打开的概率均为0.1,各个水龙头是否被打开互不影响,随机变量X表示水龙头同时被打开的个数,则P(X=2)= .(用数字作答) 8.(2020江苏南京二十九中高三下模拟)某公司的一次招聘中,应聘者都要经过A,B,C三个独立项目的测试,通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A,B,C每个项目测试的概率都是 . (1)求甲恰好通过两个项目测试的概率; (2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列. 9.(2020山东菏泽高二下期末)假设某种人寿保险规定: 若投保人没活过65岁,则保险公司要赔偿10万元;若投保人活过65岁,则保险公司不赔偿,但要给投保人一次性支付4万元.已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9,随机抽取其中的4个投保人,设其中活过65岁的人数为X,保险公司支出给这4人的总金额为Y万元.(参考数据: 0.94=0.6561) (1)求X的分布列,并写出Y与X的关系; (2)求P(Y≥22). 题组三 二项分布的期望与方差 10.(2020浙江湖州中学高二下月考)已知随机变量X~B 则E(X),D(X)分别为( ) A. B. C. D. 11.(2020山东泰安二中高三上月考)已知随机变量X,Y满足X+Y=8,若X~B(10,0.6),则E(Y),D(Y)分别为( ) A.6,2.4B.6,5.6 C.2,2.4D.2,5.6 12.(2020河北辛集中学高三下模拟)在3重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为 则事件A发生的次数X的期望和方差分别为( ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 13.(2019河南洛阳高二质量检测)设随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),若E(X)= 则P(Y≥3)= . 14.(2020北京朝阳高三上期末)某学校在春天来临时开展了以“拥抱春天,播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为p,各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领取了此种盆栽植物10株,设X为其中成活的株数,若D(X)=2.1,P(X=3) 15.由数字0,1,2,3,4组成一个五位数α. (1)若α的各数位上的数字不重复,求α是偶数的概率; (2)若α的各数位上的数字可以重复,记随机变量X表示各数位上数字是0的个数,求X的分布列及数学期望. 16.某学校要招聘志愿者,参加应聘的学生要从8个试题中随机挑选出4个进行作答,至少答对3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试,在这8个试题中甲能答对6个,乙能答对每个试题的概率为 且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. (1)试通过概率计算,分析甲、乙两人谁通过初试的可能性更大; (2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙答题的得分为Y,求Y的分布列、数学期望和方差. 能力提升练 题组一 二项分布的概率 1.(2020天津塘沽一中高三二模, )袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个小球,从袋中一次性摸出两个球,记下号码并放回,若两个号码的和是3的倍数,则获奖.现有5人参与摸球,则恰好2人获奖的概率是( ) A. B. C. D. 2.(2020湖南长沙长郡中学高三一模, )“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏.其游戏规则: 出拳之前双方齐喊口令,然后在语音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜过“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同学进行五局三胜制的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是( ) A. B. C. D. 3.(多选)(2020河北衡水枣强中学高二上期末, )一个口袋内有12个大小形状完全相同的小球,其中有n个红球,若有放回地从口袋中连续取四次(每次只取一个小球),恰好两次取到红球的概率大于 则n的值可能为( ) A.5B.6C.7D.8 4.(2019河北示范性高中高三下联考, )一年之计在于春,一日之计在于晨,春天是播种的季节,是希望的开端.某种植户对一块地的n个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为 且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.则当n= 时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为 . 题组二 二项分布的期望与方差 5.(2020山东莱州一中高二下阶段检测, )某市环保局举办“六·五”世界环境日宣传活动,进行现场抽奖.抽奖规则: 盒中装有10张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案.参加者每次从盒中抽取两张卡片,若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖.已知从盒中抽取两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是 .现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖,抽后放回,另一人再抽,用X表示获奖的人数,那么E(X)+D(X)=( ) A. B. C. D. 6.(2020湖北武汉二中高二下月考, )已知离散型随机变量X服从二项分布B(n,p),且E(X)=4,D(X)=q,则 + 的最小值为( ) A.2B. C. D.4 7.(2020重庆西南大学附属中学高三上期末, )网上购物已经成为一种重要的消费方式.某网络公司通过随机问卷调查,得到不同年龄段的网民在网上购物的情况,并从参与的调查者中随机抽取了150人.经统计得到如下表格: 年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 频数 15 45 45 30 8 7 在网上购 物的人数 12 33 35 15 3 2 若把年龄大于或等于15而小于35岁的视为青少年,把年龄大于或等于35而小于65岁的视为中年人,把年龄大于或等于65岁的视为老年人,将频率视为概率. (1)在青少年、中年人、老年人中,哪个群体网上购物的概率最大? (2)现从某市青少年网民(人数众多)中随机抽取4人,设其中网上购物的人数为X,求X的分布列及期望. 答案全解全析 7.4 二项分布与超几何分布 7.4.1 二项分布 基础过关练 1.C 由伯努利试验的概念知①②③正确,④错误. 2.C 由题意知,该同学连续测试3次,只有第3次通过的概率P= × = .故选C. 3.B 由题意知,摸到红球的概率为 摸到白球的概率为 则有放回地摸球2次,恰好第1次摸到红球且第2次摸到白球的概率为 × = 解得n=2或n= (舍去),故选B. 4.解析 (1)记“甲恰好射击3次结束射击”为事件A1. 则P(A1)= × × = . 所以甲恰好射击3次结束射击的概率为 . (2)记“乙恰好射击3次结束射击”为事件A2, 则P(A2)= × × + × × = 所以乙恰好射击3次结束射击的概率为 . 5.A 由二项分布的概率公式可得,P(X=3)= × × = 故选A. 6.答案 解析 因为随机变量X~B 所以P(2 = + = . 7.答案 0.027 解析 由题意得P(X=2)= ×0.12×0.9=0.027. 8.解析 (1)甲恰好通过两个项目测试的概率为 = . (2)因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为 + = 所以可看作3重伯努利试验, 甲、乙、丙三人中被录用的人数X服从二项分布,即X~B 所以P(X=0)= = P(X=1)= = P(X=2)= = P(X=3)= = . 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 9.解析 (1)由于每个投保人能活过65岁的概率都为0.9,因此X服从二项分布,即X~B(4,0.9),则P(X=k)= 0.9k×(1-0.9)4-k(k=0,1,2,3,4),故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.0001 0.0036 0.0486 0.2916 0.6561 因为4个投保人中,活过65岁的人数为X,则没活过65岁的人数为4-X, 因此Y=10(4-X)+4X, 即Y=40-6X(X=0,1,2,3,4). (2)由Y≥22得40-6X≥22,即X≤3, 所以P(Y≥22)=P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1-P(X=4)=1-0.6561=0.3439. 所以P(Y≥22)=0.3439. 10.D 因为随机变量X~B 所以E(X)=2× = D(X)=2× × = . 故选D. 11.C ∵X~B(10,0.6), ∴E(X)=10×0.6=6, D(X)=10×0.6×0.4=2.4. ∵X+Y=8,∴Y=8-X, ∴E(Y)=E(8-X)=8-E(X)=2, D(Y)=D(8-X)=D(X)=2.4. 故选C. 12.A 由题意,设事件A在每次试验中发生的概率为p, 因为事件A至少发生一次的概率为 所以1-(1-p)3= 解得p= 则X~B 所以E(X)=3× = D(X)=3× × = . 故选A. 13.答案 解析 ∵X~B(2,p),∴E(X)=2p= ∴p= ∴Y~B ∴P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)= + = . 14.答案 0.7 解析 由题意可知X~B(10,p), ∴ 即 解
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