全国2卷理科数学课程与答案.docx
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全国2卷理科数学课程与答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试(Ⅱ卷)逐题解析
理科数学
1、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
【题目1】(2017·新课标全国Ⅱ卷理1)1.()
A.B.C.D.
【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念,意在考查学生的运算能力.
【解析】解法一:
常规解法
解法二:
对十法
可以拆成两组分式数,运算的结果应为形式,(分子十字相乘,
分母为底层数字平方和),(分子对位之积差,分母为底层数字平方和).
解法三:
分离常数法
解法四:
参数法
,解得
故
【知识拓展】复数属于新课标必考点,考复数的四则运算的年份较多,复数考点有五:
1.复数的
几何意义(2016年);2.复数的四则运算;3.复数的相等的充要条件;4.复数的分类及共轭复数;
5.复数的模
【题目2】(2017·新课标全国Ⅱ卷理2)2.设集合,.若,则()
A.B.C.D.
【命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算,以考查考生的运算能力为目
的.
【解析】解法一:
常规解法
∵∴1是方程的一个根,即,∴
故
解法二:
韦达定理法
∵∴1是方程的一个根,∴利用伟大定理可知:
,解得:
,故
解法三:
排除法
∵集合中的元素必是方程方程的根,∴,从四个选项A﹑B﹑C﹑D
看只有C选项满足题意.
【知识拓展】集合属于新课标必考点,属于函数范畴,常与解方程﹑求定义域和值域﹑数集意义
相结合,集合考点有二:
1.集合间的基本关系;2.集合的基本运算.
【题目3】(2017·新课标全国Ⅱ卷理3)3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
”意思是:
一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()
A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
【命题意图】本题主要考查等比数列通向公式及其前项和,以考查考生的运算能力为主目
的.
【解析】解法一:
常规解法
一座7层塔共挂了381盏灯,即;相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,即
,塔的顶层为;由等比前项和可知:
,解得
.
解法二:
边界效应
等比数列为递增数列,则有,∴,解得,∴.
【知识拓展】数列属于高考必考考点,一般占10分或12分,即两道小题或一道大题,其中必
有一道小题属于基础题,一道中档偏上题或压轴题,大题在17题出现,属于基础题型,高考所
占分值较大,在高中教学中列为重点讲解内容,也是大部分学生的难点,主要是平时教学题型难
度严重偏离高考考试难度,以及研究题型偏离命题方向,希望能引起注意;考试主线非常明晰,
1.等差数列通向公式及其前项和;2.等比数列通向公式及其前项和.
【题目4】(2017·新课标全国Ⅱ卷理4)4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为()
A.B.C.D.
【命题意图】本题主要考查简单几何体三视图及体积,以考查考生的空间想象能力为主目的.
【解析】解法一:
常规解法
从三视图可知:
一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分,具体图像如下:
切割前圆柱
切割中
切割后几何体
从上图可以清晰的可出剩余几何体形状,该几何体的体积分成两部分,部分图如下:
从左图可知:
剩下的体积分上下两部分阴影的体积,下面阴影的体
积为,,,∴;上面阴影的体积是上
面部分体积的一半,即,与的比为高的比(同底),
即,,故总体积.
第二种体积求法:
,其余同上,故总体积
.
【知识拓展】三视图属于高考必考点,几乎年年考三视图,题型一般有五方面,1.求体积;2.求面
积(表面积,侧面积等);3.求棱长;4.视图本质考查(推断视图,展开图,空间直角坐标系视
图);5.视图与球体综合联立,其中前三个方面考的较多.
【题目5】(2017·新课标全国Ⅱ卷理5)5.设,满足约束条件,则的最小值是()
A.B.C.D.
【命题意图】本题主要考查线性规划问题,以考查考生数形结合的数学思想方法运用为目的,
属于过渡中档题.
【解析】解法一:
常规解法
根据约束条件画出可行域(图中阴影部分),作直线,平移直线,
将直线平移到点处最小,点的坐标为,将点的坐标代到目标函数,
可得,即.
解法二:
直接求法
对于封闭的可行域,我们可以直接求三条直线的交点,代入目标函数中,三个数种选其最小的
为最小值即可,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,所求值分
别为﹑﹑,故,.
解法三:
隔板法
首先看约束条件方程的斜率
约束条件方程的斜率分别为﹑﹑;
其次排序
按照坐标系位置排序﹑﹑;
再次看目标函数的斜率和前的系数
看目标函数的斜率和前的系数分别为﹑;
最后画初始位置,跳格,找到最小值点
目标函数的斜率在之间,即为初始位置,前的系数为正,则按逆时针旋转,第一格为
最大值点,即,第二个格为最小值点,即,只需解斜率为和这两条线的交点
即可,其实就是点,点的坐标为,将点的坐标代到目标函数,
可得,即.
【知识拓展】线性规划属于不等式范围,是高考必考考点,常考查数学的数形结合能力,一般
变化只在两个方向变化,1.约束条件的变化;2.目标函数的变化;约束条件变化从封闭程度方面
变化,目标函数则从方程的几何意义上变化,但此题型属于高考热点题型(已知封闭的约束条
件,求已知的二元一次方程目标函数),此题型属于过渡中档题,只需多积累各题型解决的方法
即可.
【题目6】(2017·新课标全国Ⅱ卷理6)6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()
A.12种B.18种C.24种D.36种
【命题意图】本题主要考查基本计数原理的应用,以考查考生的逻辑分析能力和运算求解能力
为主.
【解析】解法一:
分组分配之分人
首先分组
将三人分成两组,一组为三个人,有种可能,另外一组从三人在选调一人,有种可
能;
其次排序
两组前后在排序,在对位找工作即可,有种可能;共计有36种可能.
解法二:
分组分配之分工作
工作分成三份有种可能,在把三组工作分给3个人有可能,共计有36种可能.
解法三:
分组分配之人与工作互动
先让先个人个完成一项工作,有种可能,剩下的一项工作在有3人中一人完成有
种可能,但由两项工作人数相同,所以要除以,共计有36种可能.
解法四:
占位法
其中必有一个完成两项工作,选出此人,让其先占位,即有中可能;剩下的两项工作
由剩下的两个人去完成,即有种可能,按分步计数原理求得结果为36种可能.
解法五:
隔板法和环桌排列
首先让其环桌排列,在插两个隔板,有种可能,在分配给3人工作有种可能,按分
步计数原理求得结果为36种可能.
【知识拓展】计数原理属于必考考点,常考题型有1.排列组合;2.二项式定理,几乎二者是隔一
年或隔两年交互出题,排列组合这种排序问题常考,已经属于高考常态,利用二项式定理求某一
项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态,尤其是利用二项式定理求某一项的系数更为突出.
【题目7】(2017·新课标全国Ⅱ卷理7)7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,学科&网给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:
我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()
A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩
【命题意图】本题考查推理与证明的有关知识,考查考生推理论证能力.
【解析】解法一:
假设法
甲看乙﹑丙成绩,甲不知道自己的成绩,那么乙﹑丙成绩中有一人为优,一人为良;乙已经知道
自己的成绩要么良,要么优,丙同样也是,当乙看到丙的成绩,一定知道自己的成绩,但是丙一
定不知道自己的成绩;而丁同学也知道自己的成绩要么良,要么优,只有看到甲的成绩,才能判
断自己的成绩,丁同学也一定知道自己的成绩,故只有乙﹑丁两位同学知道自己的成绩.
解法二:
选项代入法
当我们不知道如何下手,则从选项入手,一一假定成立,来验证我们的假设是否成立,略
【知识拓展】推理与证明近两年属于热点考题,2016年的第15题(理)﹑第16题(文),今年
的理(7)﹑文(9),属于创新题,突出新颖,但题的难度不大,需要考生冷静的思考,抓住主
要知识要点,从而能够快速做题,属于中档题.
【题目8】(2017·新课标全国Ⅱ卷理8)8.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的()
A.2B.3C.4D.5
【命题意图】本题考查程序框图的知识,意在考查考生对循环结构的理解与应用.
【解析】解法一:
常规解法
∵,,,,,∴执行第一次循环:
﹑﹑
;执行第二次循环:
﹑﹑;执行第三次循环:
﹑﹑
;执行第四次循环:
﹑﹑;执行第五次循环:
﹑﹑
;执行第五次循环:
﹑﹑;当时,终止循环,输出,
故输出值为3.
解法二:
数列法
,,裂项相消可得;执行第一次循环:
﹑
﹑,当时,即可终止,,即,故输出
值为3.
【题目9】(2017·新课标全国Ⅱ卷理9)9.若双曲线(,)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为()
A.2B.C.D.
【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系,意在考查考生的转化与化归思想.
【解析】解法一:
常规解法
根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为,根据直线与圆的位置关系可求得圆心到
渐进线的距离为,∴圆心到渐近线的距离为,即,解得.
解法二:
待定系数法
设渐进线的方程为,根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为,
∴圆心到渐近线的距离为,即,解得;由于渐近线的斜率与离心率
关系为,解得.
解法三:
几何法
从题意可知:
,为
等边三角形,所以一条渐近线的倾斜较为,
由于,可得,
渐近线的斜率与离心率关系为,解得.
解法四:
坐标系转化法
根据圆的直角坐标系方程:
,可得极坐标方程,由可得极
角,从上图可知:
渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等,所以,
渐近线的斜率与离心率关系为,解得.
解法五:
参数法之直线参数方程
如上图,根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为,可以表示点的坐标为,∵,∴点的坐标为,代入圆方程中,
解得.
【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容(理科),一般与三角形﹑直线与圆﹑向量
相结合,属于中档偏上的题,但随着二卷回归基础的趋势,圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上
位置,但难度逐年下降.
【题目10】(2017·新课标全国Ⅱ卷理10)10.已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
【命题意图】本题考查立体几何中的异面直线角度的求解,意在考查考生的空间想象能力
【解析】解法一:
常规解法
在边﹑﹑﹑上分别取中点﹑
﹑﹑,并相互连接.
由三角形中位线定理和平行线平移功能,异面
直线和所成的夹角为或其补角,
通过几何关系求得,,
,利用余弦定理可求得异面直线
和所成的夹角余弦值为.
解法二:
补形
通过补形之后可知:
或其补角为异面
直线和所成的角,通过几何关系可知:
,,,由勾股定理
或余弦定理可得异面直线和所成的
夹角余弦值为.
解法三:
建系
建立如左图的空间直角坐标系,,,,
∴,
∴
解法四:
投影平移-三垂线定理
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