八年级数学下册 182 特殊的平行四边形练习 新版新人教版.docx
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八年级数学下册182特殊的平行四边形练习新版新人教版
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
01 基础题
知识点1 矩形的性质
1.下列性质中,矩形具有但平行四边形不一定具有的是(C)
A.对边相等B.对角相等
C.对角线相等D.对边平行
2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法错误的是(D)
A.∠ABC=90°B.AC=BD
C.OA=OBD.OA=AD
第2题图第3题图
3.如图,在矩形ABCD中,AB<BC,AC,BD相交于点O,则图中等腰三角形的个数是(C)
A.8B.6C.4D.2
4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ACB=30°,则∠AOB的大小为(B)
A.30°B.60°C.90°D.120°
第4题图第5题图
5.(2017·怀化)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AC=6cm,则AB的长是(A)
A.3cmB.6cm
C.10cmD.12cm
6.如果矩形的一边长为6,一条对角线的长为10,那么这个矩形的另一边长是8.
7.如图,已知矩形的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,则BD=2.
第7题图第8题图
8.(2016·昆明)如图,E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8,则四边形EFGH的面积是24.
9.(2016·岳阳)已知:
如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,点F在边BC上,且BE=CF,EF⊥DF.求证:
BF=CD.
证明:
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠B=∠C=90°.
∴∠BFE+∠BEF=90°.
∵EF⊥DF,∴∠DFE=90°.∴∠BFE+∠CFD=90°.
∴∠BEF=∠CFD.
在△BEF和△CFD中,
∴△BEF≌△CFD(ASA).∴BF=CD.
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,D为AB的中点,则CD=5cm.
第10题图第11题图
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,若CD=5cm,则EF=5cm.
12.如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,AH是高,如果ED=5cm,求HF的长.
解:
由题意得:
DE是△ABC的中位线,
∴DE=AC.
∵HF是Rt△AHC的斜边AC的中线,
∴HF=AC.
∴HF=DE=5cm.
02 中档题
13.(2016·荆门)如图,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F.在下列结论中,不一定正确的是(B)
A.△AFD≌△DCEB.AF=AD
C.AB=AFD.BE=AD-DF
第13题图第14题图
14.(2016·绵阳)如图,▱ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E是BC中点,△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,则AE的长度为(B)
A.3cmB.4cmC.5cmD.8cm
15.如图,已知在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,若∠DAE∶∠BAE=3∶1,则∠EAC的度数是(C)
A.18°B.36°
C.45°D.72°
第15题图第16题图
16.(2016·宜宾)如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(A)
A.4.8B.5
C.6D.7.2
17.(2017·广西四市同城)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.
(1)求证:
AE=CF;
(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,∠ABC=90°.
∵BE=DF,∴OE=OF.
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(SAS).
∴AE=CF.
(2)∵OA=OC,OB=OD,AC=BD,∴OA=OB.
∵∠AOB=∠COD=60°,
∴△AOB是等边三角形.
∴OA=AB=6.∴AC=2OA=12.
在Rt△ABC中,BC==6,
∴S矩形ABCD=AB·BC=6×6=36.
18.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,延长CB到点E,使BE=BC,连接AE.求证:
(1)四边形ADBE是平行四边形;
(2)若AB=4,OB=,求四边形ADBE的周长.
证明:
(1)∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,AD=BC.
又∵BE=BC,且点C,B,E在一条直线上,
∴AD∥BE,AD=BE.
∴四边形ADBE是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD为矩形,
∴∠BAD=90°,OB=OD.
∴BD=2OB=5.
在Rt△BAD中,AD==3.
又∵四边形ADBE为平行四边形,
∴BE=AD=3,AE=BD=5.
03 综合题
19.如图,将长8cm,宽4cm的矩形纸片ABCD折叠,使点A与点C重合,则折痕EF的长为2cm.
习题解析
第2课时 矩形的判定
01 基础题
知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.下列说法正确的是(D)
A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C.对角线互相平分的四边形是矩形
D.对角互补的平行四边形是矩形
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,四边形ADBE是平行四边形,求证:
四边形ADBE是矩形.
解:
∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC.
∴∠ADB=90°.
又∵四边形ADBE是平行四边形,
∴四边形ADBE是矩形.
3.(2016·内江)如图所示,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:
D是BC的中点;
(2)若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
解:
(1)证明:
∵AF∥BC,
∴∠AFC=∠FCB.
又∵∠AEF=∠DEC,AE=DE,
∴△AEF≌△DEC(AAS).∴AF=DC.
又∵AF=BD,∴BD=DC,即D是BC的中点.
(2)四边形AFBD是矩形.
证明:
∵AF∥BC,AF=BD,
∴四边形AFBD是平行四边形.
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,即∠ADB=90°.
∴四边形AFBD是矩形.
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
4.能判断四边形是矩形的条件是(C)
A.两条对角线互相平分
B.两条对角线相等
C.两条对角线互相平分且相等
D.两条对角线互相垂直
5.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AD∥BC,AC=BD.试添加一个条件答案不唯一,如:
AB∥CD,使四边形ABCD为矩形.
6.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,请问四边形EFGH是矩形吗?
请说明理由.
解:
四边形EFGH是矩形.
理由:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO.
∴AO=CO=BO=DO.
∵点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,
∴EO=FO=GO=HO.∴OE=OG,OF=OH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵EO+GO=FO+HO,即EG=FH,
∴四边形EFGH是矩形.
知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形
7.已知O为四边形ABCD对角线的交点,下列条件能使四边形ABCD成为矩形的是(D)
A.OA=OC,OB=OD
B.AC=BD
C.AC⊥BD
D.∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
8.已知:
如图,在▱ABCD中,AF,BH,CH,DF分别是∠BAD,∠ABC,∠BCD,∠ADC的平分线.求证:
四边形EFGH为矩形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠DAB+∠ADC
=180°.
∵AF,DF分别平分∠DAB,∠ADC,
∴∠FAD=∠BAF=∠DAB,
∠ADF=∠CDF=∠ADC.
∴∠FAD+∠ADF=90°.∴∠AFD=90°.
同理可得:
∠BHC=∠HEF=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
02 中档题
9.以下条件不能判定四边形ABCD是矩形的是(D)
A.AB=CD,AD=BC,∠A=90°
B.OA=OB=OC=OD
C.AB=CD,AB∥CD,AC=BD
D.AB=CD,AB∥CD,OA=OC,OB=OD
10.(2016·菏泽)在▱ABCD中,AB=3,BC=4,当▱ABCD的面积最大时,下列结论:
①AC=5;②∠A+∠C=180°;③AC⊥BD;④AC=BD,正确的有(B)
A.①②③B.①②④
C.②③④D.①③④
11.如图,△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是(A)
A.2B.3
C.4D.4
第11题图第12题图
12.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为12.
13.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,F为DC上一点,且FC=AB,E为AD上一点,EC交AF于点G.
(1)求证:
四边形ABCF是矩形;
(2)若ED=EC,求证:
EA=EG.
证明:
(1)∵AB∥DC,FC=AB,
∴四边形ABCF是平行四边形.
又∵∠B=90°,
∴四边形ABCF是矩形.
(2)∵四边形ABCF是矩形,
∴∠AFC=∠AFD=90°.
∴∠DAF=90°-∠D,∠CGF=90°-∠ECD.
∵ED=EC,∴∠D=∠ECD.
∴∠DAF=∠CGF.
又∵∠EGA=∠CGF,
∴∠DAF=∠EGA.
∴EA=EG.
14.如图,将▱ABCD的边AB延长至点E,使AB=BE,连接BD,DE,EC,DE交BC于点O.
(1)求证:
△ABD≌△BEC;
(2)若∠BOD=2∠A,求证:
四边形BECD是矩形.
证明:
(1)∵在▱ABCD中,AD=BC,AB=CD,AD∥CB,
∴∠A=∠EBC.
在△ABD和△BEC中,
∴△ABD≌△BEC(SAS).
(2)∵在▱ABCD中,AB∥CD,且AB=BE,
BECD.∴四边形BECD为平行四边形.
∴OB=BC,OE=ED.
∵∠BOD=2∠A=2∠EBC,
且∠BOD=∠EBC+∠BEO,
∴∠EBC=∠BEO.∴OB=OE.∴BC=ED.
∴四边形BECD是矩形.
03 综合题
15.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:
OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?
并说明理由.
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