中考数学总复习专题四垂直直角类.docx
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中考数学总复习专题四垂直直角类
专题四垂直(直角)类
联想融通:
试试看,与垂直(直角)相关的知识与题型能想起多少?
与垂直(直角)相关的知识极多,如:
三线合一,角平分线性质及其逆,三角的比中大数等于两小数之和的三角形是Rt△,勾股定理、勾股数与特殊三角形(3:
:
4:
5,5:
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13,1:
1:
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2,1:
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3:
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1:
等)、见特殊角与三角函数构造直角三角形,直角三角形斜边上中线等于斜边的一半,对角线相互垂直的四边形面积及其中点四边形的特殊性、直角梯形可分割成矩形和直角三角形,正八边形可拼成一个直角,HL判全等、等腰三角形两腰上高相等,垂直出相似、三角形的两高交出六对相似三角形、射影定理及其逆,面积公式可建立方程,轴对称、绕直角顶点旋转三角形时连结另两对对应点的线段相互垂直、正方形绕其中心旋转90度与自身重合,垂径定理、直径所对的圆周角是直角及其逆、知圆周角所对的弦长求直径时转化为以直径为斜边的直角三角形、两个直角的两组直角边分别相交时得四点共圆、切线切点、两圆连心线垂直平分公共弦……还有很多,随便写出30条.
本单元只对“过直角顶点的直线类、直角边相交成的双直角四边形类、用面积法建立方程类、重合直角顶点的双直角类、勾股定理”五个方面进行研究.
一、见过直角顶点的直线[8]
解法归一:
见过直菊顶点的直线l,从直角两边上的点分别向直l作垂线,必得全等或相似;然后再利用全等或相似进行转换.
例5–1–1已知△ABC是直角三角形,AC=BC,直线MN经过直角顶点C,分别过AB作直线MN的垂线AD、BE分别交MN于D、E.
⑴如阁5–1–1①,当垂线段AD、BE在直线MN的同侧时,试探究线段AD、BE长度之间的数量关系,并给予证明.
(2)如图5–1–1②,当垂线段AD、BE在直线MN的异侧时.试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?
并给予证明.
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本例的两图就是“过直角顶点直线类,”的两个基本图形:
直线MN在直角外、直线MN分直角,题不难,但很有代表性.
本題在
(1)怎么证的全等,在
(2)照旧;在
(1)怎么找的关系,在
(2)照旧,即“照着做”.
体验与感悟5–1
1.如图5–1–2,分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,作DD1⊥l于点D1,作EE1⊥l于点E1.线段DD1、EE1、AB的数量关系是.
2.三个正方形A、B、C如图5–1–3放置,已知正方形A、C的边长分别为a、b,正方形B的面积为2,那么a2+b2=.
3.如图5–1–4,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sina=.
4.如图5–1–5①,在△ABC中,AN丄BC于点N,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE服和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线NA的垂线,垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.
(2)如图图5–1–5②,在梯形ABCD中,AD∥BC,分别以两种AB、CD为直角边向梯形ABCD外作等腰三角形△ABE和等腰Rt△DCF,线段AD的垂直平分线交线段AD与点M,交BC于点N,若EP⊥MN于Q、
(1)中结论还成立吗?
请简述理由.
5.如图5–1–6,直线l1∥l2∥l3,l1∥与l2之间的距离是1,l2∥l3之间的距离是2,试画出以A为直角顶点的等腰直角△ABC,使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上,并写出所画等腰直角△ABC的面积.
提醒:
直角顶点在一条直线上的题目怎么做?
二、直角边相交的“双直角”类
说明:
我说的“双直角”特指如下两种情况;相对“双直角”(如图1);同侧“双直角”(如图2).
其特点是:
A连公共斜边,作斜边上的中线,得5个等腰三角形;B四点共圆,据同弧上圆周角相等得到很多等角.
(一)见“双直角”连共共斜边[8]
解法归一:
见“双直角”,找(或连)公共斜边,构造全等三角形或等腰三角形(见例3–2–1)、体验感悟3–1之3、4题.
例5–2–1如图5–2–1,边长等于1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°后得到正方形AEFG,边EF与CD交于点O.则图中阴影部分的面积为()
A.B.C.1-D.1-
例5–2–2如图5–2–2,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′C′D′(此时,点B′在AC上,点A′在CD的延长线上),A′B′交AD于点E,求证:
直线CE是线段AA′的中垂线.
交流分享:
例5–2–1连接AO、例5–2–2证CE平分∠A′CA
体验与感悟5–2–1
1.如图5–2–3,∠ABC=∠ADC=90°,M、N分别是线段AC、BD的中点.
求证:
MN⊥BD.
2.
(1)将2个全等的Rt△ABC和Rt△DBE按图5–2–4①摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点D落在AB上,直线DE交直线AC于点F.求证:
AF+EF=DE.
(2)若将图5–2–4①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°<α<60°,其他条件不变,请在图5–2–4②中画出变换后的图形,并直接写出
(1)中的结论是否仍然成立.
(3)若将图5–2–4①中的△DBE绕点初步按顺时针方向旋转角β,且60︒<β<180︒,其他条件不变,如图5–2–4③,你认为
(1)中的结论还成立吗?
若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时AF、EF与DE之间的关系,并说明理由.
(二)见“双直角”用四点共圆[9]
例5–2–3如图5–2–5,BF、CD是△ABC的两条高,E是BC的中点,∠A=50°,求∠DEF.
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EB=ED=EC=EF,B、D、F、C四点在同一圆上,∠DEF=2∠ABF.
例5–2–4如图5–2–6,已知AC、BD相交于O,BA=BO、CD=CO,P、M、N分别是BC、OA、OD的中点,∠ABO=2α.
求证:
△PMN∽△BAO.
交流分享:
连接BM、CN后,方法同例5–2–3.
体验与感悟5–2–2
1.如图5–2–7,在锐角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE为高,F是BC的中点,连接DE、EF、FD.则在:
①EF=FD;②AD︰AB=AE︰AC;③△DEF是等边三角形;④BE+CD=BC;⑤当∠ABC=45°是,BE=DE.这五个结论中一定正确的个数是()
A.2B.3C.4D.5
2.如图5–2–8,从边长为2的正方形中心O作两条相互垂直的射线,分别于正方形的边交于A、B两点,则线段AB的最小值是.
3.如图5–2–9,点B在线段AC上,点D、E在AC同侧,∠A=∠C=90°,AD=BC=3,AB=CE=5,点P为线段AB上的动点,连接DP,作PQ⊥PD交直线BE与点Q,当点P与A,B两点不重合时,求DP︰PQ的值.
提醒:
回顾一下“双直角”吧!
三、见垂直用面积法建立方程[8]
解法归一:
有两个以上垂直的题目,可以考虑可否用面积法建立方程解答.
例5–3–1
(1)如图5–3–1,在□ABCD中,AE⊥BC与E,AF⊥CD与F,若AE=4,AF=6,□ABCD的周长为40,则□ABCD的面积等于.
2如图5–3–2,△ABC是等边三角形,点D是BC上任意一点,DE⊥AB与点E,DF⊥AC与点F,若BC=2,则DE+DF=.
(3)如图5–3–3,在△ABC中∠ACB=90°,以AC为直径的半圆O与斜边AB交于点D,若AC=5,BC=5,BC=4,则CD=.
交流分享:
(1)BC︰AE=CD︰AF;
(2)连AD,BC边上高为h,则可由S△ABD+S△ACB=S△ABC求得DE+DF的值.(3)AB︰CD=AC︰BC.
例5–3–2,
(1)已知在四边形ABCD中AC=8,BD=6,AC⊥BD,设图5–3–4①、图5–3–4②中的四边形ABCD的面积分别为S1S2.则S1=,S2=.
(2)请你就“对角线相互垂直的四边形”的面积与它的两对角线的关系提出猜想,并举一个你学过的特殊四边形进行佐证.
(3)如图5–3–4③,a、b、c是过△ABC三顶点的中线,直线b交AC于点D,且a∥b∥c,设BD=l,a、c两直线间距离为h,请用h,l表示△ABC的面积,并说明理由.
提醒:
回顾一下例5–3–2,能发现什么?
1.如图,矩形ABCD中AB=3,BC=4,点E在对角线BD上,BE=BC,点P为直线EC上的一点,且PQ⊥BC于点Q,PR⊥BD于点R.
(1)如图5–3–5①,求当点P不与点E、点C重合时PR+PQ的值.
(2)如图5–3–4②,当点P为线段EC延长线上的任意一点时,其他条件不变,则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系?
请直接写出你的猜想.
2.在锐角△ABC中,AB=AC,CD⊥BA于D,把一个含30°的直角三角尺按如图5–3–6所示的位置摆放:
该三角尺的直角顶点为E、一条直角边与AC边在一条直线上、另一条直角边交底边CB的延长线与点F,作FG⊥射线AB于点G.请你猜想并写出EF、FG、CD之间满足的数量关系,然后证明你的猜想.
3.(Ⅰ)探究新知:
如图5–3–7①,过△ABC的三个顶点的三条直线l1∥l2∥l3,l1与l3之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),l2在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.求证:
S△ABC=ah.
(Ⅱ)解决问题:
如图5–3–7②,已知二次函数y=-x2+x+4的图像与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点,连接AC.
x
l1
l2
l3
h
E
a
C
B
A
(1)写出直线AC的解析式;
(2)点P为抛物线上的第一象限内一个动点,过P做y轴的平行线,交AC于M、交x轴于N,设P点的横坐标为m,则
①线段MN、PN的长可用含m代数式分别表示为MN=、PN=.
②线段PA、PC,若所得△PAC的面积为S,求出S与m的关系,并m取何值时S有最大值?
四、两直角顶点重合放置必有等角[8]
解法归一:
其实两个任意等角顶点重合放置时必须有等角,直角的情况只是其特别而已、借助这对等角再找全等三角形或相似三角形.(更多例子请看本书第9单元旋转探究)
例5–4–1,OA⊥OC、OB⊥OD,
(1)∠AOB=∠;
(2)∠AOD+∠BOC=∠;
(3)若∠AOD=30°,则∠BOC=.
注:
本题为“两直角顶点叠放”的最基本图形.
例5–4–2,如图5–4–2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知AC=5,OC=6,求另一个直角边BC的长.
交流分享:
两直角相对,从一直角顶点向另一直角两边分别作垂线,造新直角.
体验与感悟5—4
1.如图5—4—3边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A′B′C′O的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,则两个正方形重叠部分的面积等于.
2.如图5—4—4,正方形ABCD和正方形DEFG的顶点C、D、E在双曲线y=上,A、B、F在坐标轴上,则点E的坐标为.
3.在同一平面内将等腰直角三角形ACB(∠ACB=90°)的顶点A发在直线MN上,过点C、点B分别作CE⊥MN与E、BF⊥MN于点F.
(1)如图5—4—5①,求证:
AF+BF=2CE;
(2)请你猜想图5—4—5②中线段AF、BF、CE之间的数量关系,再给出证明.
I
H
交流分享:
见有以直角顶点为端点的射线或线段时,再作一条射线或线段造一新直角。
4.如图5—4—6,将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在面直角坐标系第二象限,且斜靠在两坐标轴上,直角顶点
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- 中考 数学 复习 专题 垂直 直角