武汉理工研究生矩阵论试题及答案资料下载.pdf
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武汉理工研究生矩阵论试题及答案资料下载.pdf
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前面没有标记有(a)或(b)的试题,全部全部的学生均答。
)一、填空题一、填空题(15分)分)1.(a)在3中有下列两个基:
1=(111),2=(110),3=(100)1=(100),2=(010),3=(001)则从基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵是=(001011110)2(a)已知矩阵=(123223323),在3中定义线性变换()=,3,则()=23.已知矩阵A的初等因子为
(1),
(1)2,(+2)2,(+2)4,则A的最小多项式()=_
(1)2(+2)4_4.已知矩阵=(210120301),则范数=205.已知矩阵=(151271025),则+2+=1013(6578)二、二、(a)在多项式空间3()=次数小于小于3的的多项式,若()=0+1+223(),定义()=(0+1)+(1+2)+(0+21+2)2;
1.证明是3()上的线性变换,2.求在基1,2下的矩阵,3.求的核子空间ker()的一个基。
(15分)证明:
证明:
1.()=0+1+223()=0+1+223()+()=(+(+)+(+)=(+)+(+)+(+(+)+)=()+()()=(0+1)+(1+2)+(0+21+2)2)=()2.T(12)=(12)(110011121)3.0+1=01+2=00+21+2=0通解c(111),的核子空间ker()的一个基1+2三、三、(a)在3中,对于任意,3,=(1,2,3),=(1,2,3),定义(,)=11+222+333,证明,1(,)为3的一个内积;
2.求一个与基(100),(110),(111)等价的标准正交基;
3.设=(110),试求的一个基。
1.(,)(+,)=(,)+(,)(,)=(,)(,)=12+222+3320,仅当=0时,(,)=02.(100),12(010),13(001)3.(210),(001)四、四、已知矩阵=(211212112)1.求的Jordan标准型及可逆矩阵,使得1=;
2.求的最小多项式,并求524+3342+3+。
(18分)解,1.f()=|=|2112+12112|=
(1)3=0,特征值1,2,3=1()=0之基础解系为1=(110),2=(101),P1=(1111),P=(12,3)1=(110)2=(121)求得3=(100)P=(111120010)1=(1111)2.()=
(1)2524+3342+3+1=(3+2)
(1)2+1524+3342+3+=+=(311202113)五、五、设是上的矩阵范数,是一个可逆矩阵,对任意,定义=1,求证是上的一种矩阵范数。
(10分)证明:
(1)当A=0时,=0,当A0时,10,故=10;
(2)C,有=1()=1=|1=|(3)+=1(+)=1+11+1=+(4)=1=1111=六、六、(a)线性方程组=其中,202123101246A,1103b试用广义逆矩阵的方法求=的最小二乘解以及极小范数最小二乘解。
(12分)解:
,202101123011101000246000A20121024B,101011C+=()1()1=101521=8244302112最小二乘解+b+(+)=110(123)+(13(211121112)=110(123)+13(111111111)(123)范数最小最小二乘解+b=110(123)七、七、已知矩阵A=(126103114)1.求及2.求下列初值问题的解=(0)=0的解,其中0=(112)。
(15分)解:
1.令()=|=|+12613114|=
(1)3=0,得1,2,3=1()=
(1)2设=()()+(),其中()=0+1得
(1)=0+1=
(1)=1=即0=,1=()=(1226131+3)令=1,=(26034)2.满足初值的解为0=(1226131+3)(112)=(1+81+42+4)
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