一线三等角典型例题_精品文档Word文档格式.docx
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BP.
(2)探究:
如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?
说明理由.
(3)应用:
请利用
(1)、
(2)获得的经验解决问题:
如图3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出发,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切,求t的值.
变式1(2012年烟台)
(1)问题探究
如图6,分别以△ABC的边AC与边BC为边,向△ABC外作正方形ACD1E1
和正方形BCD2E2,过点C作直线KH交直线AB于点H,使∠AHK=∠ACD1.作
D1M⊥KH,D2N⊥KH,垂足分别为点M、N.试探究线段D1M与线段D2N的数量关系,并加以证明.
(2)拓展延伸
1如图7,若将“问题探究”中的正方形改为正三角形,过点C作直线K1H1
,K2H2,分别交直线AB于点H1、H2,使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1.作D1M⊥K1H1,D2N⊥K2H2,垂足分别为点M、N.D1M=D2N是否仍成立?
若成立,给出证明;
若不成立,说明理由.
2如图8,若将①中的“正三角形”改为“正五边形”,其他条件不变.D1M=D2N是否仍成立?
(要求:
在图8中补全图形,注明字母,直接写出结论,不需证明)
二、添加辅助线后运用基本图形
例1、在△ABC中,AB=2,∠B=45°
,以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE,点D在BC上,点E在AC上,若CE=5,求CD的长。
例2、(2013年海淀区一模22题最后一问)如图,l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线,l1、l2之间的距离是21/5,l2、l3之间的距离是21/10,等边△ABC的三个顶点分别在l1、l2、l3上,求△ABC的边长.
例3、 如图,在矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=4,在AB边上取点G,现将纸片沿EG翻折,使点A落在CD边上的点F处,当AE=3时,求BG的长。
三、应用举例
1、等腰三角形底边上的一线三等角
例1、如图5,在三角形ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为顶点作∠MDN=∠B.
(1)如图5,当射线DN经过A时,DM交AC边于点E,不添加辅助线,写出图中所有与三角形ADE相似的三角形。
(2)如图6,将∠MDN绕点D逆时针方向旋转,DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点,(E和A点不重合),不添加辅助线,写出图中所有相似的三角形,并证明。
(3)在图6中,若AB=AC=10,BC=12,当三角形DEF的面积等于三角形面积的1/4时,求线段EF的长。
例2、如图8,在Rt⊿ABC中,AB=AC=2,∠A=90°
,现取一块等腰直角三角板,将45°
角的顶点放在BC中点O处,三角板的直角边与线段AB、AC分别交于点E、F,设BE=x,CF=y,∠BOE=α(45°
≤α≤90°
).
(1)试求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)试判断∠BEO与∠OEF的大小关系?
并说明理由;
(3)在三角板绕O点旋转的过程中,⊿OEF能否成为等腰三角形?
若能,求出对应
x的值;
若不能,请说明理由.
【例3】
(2012四川·
成都卷)如图,△ABC和△DEF两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°
,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:
△BPE≌△CQE;
(2)
(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:
△BPE∽△CEQ;
并求当BP=a,CQ=9a/2时,P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示)
6、(东城一模24.)等边△ABC边长为6,P为BC边上一点,∠MPN=60°
,且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.
(1)如图1,当点P为BC的三等分点,且PE⊥AB时,判断△EPF的形状;
(2)如图2,若点P在BC边上运动,且保持PE⊥AB,设BP=x,四边形AEPF面积的y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)如图3,若点P在BC边上运动,且∠MPN绕点P旋转,当CF=AE=2时,求PE的长.
2、四边形中的一线三等角
例1、如图,正方形ABCD的边长为1cm,M、N分别是BC、CD上两个动点,
且始终保持AM⊥MN,设BM的长为xcm,CN的长为ycm.求点M在BC上的运动过程中y的最大值
例2
例3、如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=4AD=42,∠B=45°
,点E、F分别在边BC、CD上移动,且∠AEF=45°
,则点E移动过程中,线段AF长
的最小值是()
例4.如图,在梯形中,,,,点分别在线段上(点与点不重合),且,设,.
A
E
D
F
C
B
⑴ 求与的函数表达式;
⑵ 当为何值时,有最大值,最大值是多少?
例4、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°
,AB=8,,CA=CD,E、F分别是线段AD、AC上的动点(点E与点A、D不重合),且∠FEC=∠ACB,设DE=x,CF=y.
(1)求AC和AD的长;
(2)求y与x的函数关系式;
(3)当△EFC为等腰三角形时,求x的值.
3、函数问题中的一线三等角.
例1、在直角坐标系中,点A是抛物线y=x2在第二象限上的点,连结OA,过点O作OB⊥OA,交抛物线于点B,以OA、OB为边构造矩形AOBC.如图,当点A的横坐标为-1/2时,求点B的坐标.
例2、如图,已知直线y=kx与抛物线y=-4/27x2+22/3交于点A(3,6).若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.试探究:
m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
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