空间向量练习及答案解析Word文件下载.docx
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④AB与CD所成的角为60°
.其中错误的结论是( )
A.①B.②C.③D.④
5.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°
,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1的夹角是( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
6.已知在空间四面体O-ABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC中点,设=a,=b,=c,则等于( )
A.a+b-cB.-a+b+cC.a-b+cD.a+b-c
7.已知在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,则AB1与D1E所成角的余弦值为( )
A.B.C.-D.-
8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是棱CC1,BC,A1B1上的点,若∠B1MN=90°
,则∠PMN的大小( )
A.等于90°
B.小于90°
C.大于90°
D.不确定
9.如图,S是正三角形ABC所在平面外一点,M,N分别是AB和SC的中点,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°
,则异面直线SM与BN所成角的余弦值为( )
A.-B.C.-D.
10.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面α的法向量,则m,n的值分别为( )
A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2
11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°
,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,则A1B与平面ABD所成角的正弦值为( )
A.23B.73C.32D.37
12.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°
,2AC=AA1=BC=2,若二面角B1-DC-C1的大小为60°
,则AD的长为( )
A.2B.3C.2D.22
13.三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若〈n1,n2〉=π3,则二面角A-BD-C的大小为( )
A.π3B.2π3C.π3或2π3D.π3或-π3
14.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则BP等于( )
A.407,157,-3B.337,157,-3C.-407,-157,-3D.337,-157,-3
15.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等.给出下列结论:
①A1M∥D1P;
②A1M∥B1Q;
③A1M∥平面DCC1D1;
④A1M∥平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
二、填空题(共6小题,每小题4.0分,共24分)
16.如图所示,已知正四面体A-BCD中,AE=AB,CF=CD,则直线DE和BF所成角的余弦值为________.
17.已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是________.
18.如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,∠PAD=90°
,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为________.
19.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为________.
20.如下图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos〈DP,AE〉=33,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________.
21.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).对于结论:
①AP⊥AB;
②AP⊥AD;
③AP是平面ABCD的法向量;
④AP∥BD.其中正确的是____________.
三、解答题(共6小题,每小题11.0分,共66分)
22.如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°
,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=12AB=1,M是PB的中点.
(1)证明:
面PAD⊥面PCD;
(2)求AC与PB所成角的余弦值;
(3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值.
23.如下图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°
,∠BCA=90°
,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC.
(1)求证:
BC⊥平面PAC;
(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值;
(3)是否存在点E,使得二面角A-DE-P为直二面角?
并说明理由.
24.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F是棱BC,CD的中点,求:
(1)直线DF与B1F所成角的余弦值;
(2)二面角C1-EF-A的余弦值.
25.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB垂直于AD和BC,侧棱SB⊥平面ABCD,且SB=AB=AD=1,BC=2.
(1)求SA与CD所成的角;
(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值.
26.如下图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.
(1)证明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.
27.如下图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,E为BC的中点,F为CC1的中点.
(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值;
(2)求二面角F-DE-C的余弦值.
空间向量练习答案解析
1.【答案】D
【解析】 ∵α∥β,∴β的法向量与α的法向量平行,又∵(4,-2,2)=2(2,-1,1),故选D.
2.【答案】B
【解析】 以A为坐标原点,分别以AB,AD,AE所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则E(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),
=(1,0,-1),=(1,1,-1).
设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),
则即
可取n=(1,0,1).又平面EAD的法向量为=(1,0,0),所以cos〈n,〉==,
故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°
.
3.【答案】C【解析】 设Q(x,y,z),因Q在上,故有∥,
设=λ(λ∈R),可得x=λ,y=λ,z=2λ,
则Q(λ,λ,2λ),=(1-λ,2-λ,3-2λ),
=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以·
=6λ2-16λ+10=62-,
故当λ=时,·
取最小值,此时Q.
4.【答案】C
【解析】 如图所示,取BD的中点O,以点O为坐标原点,OD,OA,OC所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABCD边长为,则D(1,0,0),
B(-1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以=(0,-1,1),=(2,0,0),·
=0,
故AC⊥BD.①正确.
又||=,||=,||=,所以△ACD为等边三角形.②正确.
对于③,为面BCD的一个法向量,
cos〈,〉====-.
所以AB与OA所在直线所成的角为45°
,
所以AB与平面BCD所成角为45°
.故③错误.
又cos〈,〉===-.
因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB与CD所成角为60°
.故④正确.
5.【答案】B
【解析】 不妨设AB=BC=AA1=1,
则=-=(-),=+,∴||=|-|=,||=,
·
=(-)·
(+)=,∴cos〈,〉===,
∴〈,〉=60°
,即异面直线EF与BC1的夹角是60°
6.【答案】B
【解析】 =-=(+)-=b+c-a.
7.【答案】A
【解析】 ∵A(2,2,0),B1(2,0,2),E(0,1,0),D1(0,2,2),
∴=(0,-2,2),=(0,1,2),∴||=2,||=,·
=0-2+4=2,
∴cos〈,〉===,又异面直线所成角的范围是,
∴AB1与ED1所成角的余弦值为.
8.【答案】A
【解析】 A1B1⊥平面BCC1B1,故A1B1⊥MN,
=(+)·
=·
+·
=0,∴MP⊥MN,即∠PMN=90°
9.【答案】B
【解析】 不妨设SA=SB=SC=1,以S为坐标原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Sxyz,则相关各点坐标为A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),S(0,0,0),
M,N.
因为=,=,
所以||=,||=,·
=-,
cos〈,〉==-,
因为异面直线所成的角为锐角或直角,
所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.
10.【答案】A
【解析】 c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),
由c为平面α的法向量,得即解得
11.【答案】A
【解析】∵侧棱与底面垂直,∠ACB=90°
,所以分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图空间直角坐标系,
设CA=CB=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),A1(a,0,2),D(0,0,1),
∴Ea2,a2,1,Ga3,a3,13,GE=a6,a6,23,BD=(0,-a,1),
∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,
∴GE⊥平面ABD
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