万有引力定律的应用.docx

万有引力定律的应用.docx

《万有引力定律的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《万有引力定律的应用.docx（40页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

万有引力定律的应用

万有引力定律是航天技术、人造卫星等现代科学技术的理论基础。

万有引力与航天是圆周运动的一个特例，只不过提供向心力的是万有引力。

知识点一估算天体的质量和密度

1.有行星或卫星绕行的中心天体的质量和密度由开普勒第三定律可知，所有绕中心天体运行的卫星或行星的运行周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数，这个常数与中心天体的质量有关，反过来，如果我们要计算一个天体的质量，只需找到围绕该天体运动的卫星或行星的运行周期和轨道半径就可以了。

把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，建立方程求解。

可分以下几种情况：

（1）周期T和轨道半径r设中心天体的质量为M，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为m，据万有引力提供向心力，则有

，可得中心天体的质量为

。

（2）运行速度v和轨道半径r设中心天体的质量为M，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为m，速度为v，据万有引力提供向心力，则有

，得

。

3.运行速度v和运行周期T设中心天体的质量为M，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为m，速度为v，运行周期为T，则有

，

，由以上两式消去r，解得

。

注意：

以上三种情况本质上是一样的，因为已知v、T和ｒ三个物理量中的任意两个都可以求出第三个，如已知v和ｒ以利用

求出Ｔ；已知v和T，可以利用

求出ｒ。

求出天体质量后，再求出天体的体积V=

，则

。

 当卫星环绕天体表面做圆周运动时，r=R，

。

例1（20XX届·福建省四地六校高三联考）为了研究太阳演化的进程需知太阳的质量，已知地球的半径为R，地球的质量为m，日地中心的距离为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为（）

A．

B．

　　C．

D．

解析：

根据

，

可得

，选项A正确。

本题答案为A。

例2（20XX届·福建省南安一中高三期末考试）地球半径为R，在距球心r处（r＞R）有一同步卫星，另有一半径为2R的星球A，在距球心3r处也有一同步卫星，它的周期是48h，那么A星球平均密度与地球平均密度的比值为（）

A．9∶32　B．3∶8　C．27∶32　D．27∶16

解析：

根据万有引力提供向心力有

可得，计算中心天体质量的公式为

；根据题意，A星球的同步卫星的轨道半径是地球同步卫星轨道半径的3倍，而周期是地球同步卫星运行周期的2倍，故A星球的质量是地球的

倍，即M星=

M地；已知A星球的半径是地球半径的2倍，那么其体积是地球体积的8倍，即V星=8V地，所以

，选项C正确。

本题答案为C。

例3（20XX届·北京市朝阳区高三期中统考、20XX届·福建省南安一中高三期末考试）天宫一号于20XX年9月29日成功发射，它将和随后发射的神州飞船在空间完成交会对接，实现中国载人航天工程的一个新的跨越。

天宫一号进入运行轨道后，其运行周期为T，距地面的高度为h，已知地球半径为R，万有引力常量为G。

若将天宫一号的运行轨道看做圆轨道，求：

（1）地球质量M；

（2）地球的平均密度。

解析：

（1）因为将天宫一号的运行轨道看做圆轨道，万有引力充当向心力，即

，解得

。

（2）地球的平均密度：

。

【高考链接1】（20XX年高考·福建理综卷）“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。

若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道

运行的周期T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式

，则可估算月球的（）

A．密度B．质量C．半径D．自转周期

解析：

“嫦娥二号”在近月表面做周期已知的匀速圆周运动，由

和

，解得

，

。

由于月球半径R未知，所以无法估算质量M，但可估算密度。

本题答案为A。

注意：

不能将“嫦娥二号”的周期与月球的自转周期混淆，无法求出月球的自转周期。

【高考链接2】（20XX年高考·江苏理综卷）一行星绕恒星做圆周运动。

由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则（）

A．恒星的质量为

B．行星的质量为

C．行星运动的轨道半径为

D．行星运动的加速度为

解析：

根据

，

，

得：

、

，AC正确，B错误；根据

、

得：

，D正确。

本题答案为ACD。

A.

B.

C.

D.

解析：

设中心天体的质量为M，半径为R，当航天器在星球表面飞行时，由

和

，解得

，即

；又因为

，所以

，

。

答案：

D

【高考链接4】（20XX年高考·安徽理综卷）为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于20XX年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。

假设探测器在离火星表面高度分别为

和

的圆轨道上运动时，周期分别为

和

。

火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。

仅利用以上数据，可以计算出（）

A．火星的密度和火星表面的重力加速度B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力

C．火星的半径和“萤火一号”的质量D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力

解析：

由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有

；

，

可求得火星的质量

和火星的半径

，根据密度公式得：

。

在火星表面的物体有

，可得火星表面的重力加速度

。

故选项A正确。

点评：

万有引力在天体运动中的应用，几乎是每年高考中必考的题型。

本类型要求考生熟练掌握万有引力定律在处理有关第一宇宙速度、天体质量和密度、周期与距离以及同步卫星的方法，特别要关注当年度航天事件。

针对练习1（20XX届·安徽省高三期末考试）20XX年8月26日消息，英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成。

若已知万有引力常量，还需知道哪些信息可以计算该行星的质量（）

A．该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径

B．该行星的自转周期与星体的半径

C．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及运行半径

D．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及公转线速度

针对练习2（20XX届·江苏省淮安市高三期末调研测试）美国宇航局20XX年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星—“开普勒-22b”，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一周，距离地球约600光年，体积是地球的2.4倍。

已知万有引力常量和地球表面的重力加速度。

根据以上信息，下列推理中正确的是（）

A．若能观测到该行星的轨道半径，可求出该行星所受的万有引力

B．若已知该行星的密度和半径，可求出该行星的轨道半径

C．根据地球的公转周期与轨道半径，可求出该行星的轨道半径

D．若该行星的密度与地球的密度相等，可求出该行星表面的重力加速度

【参考答案：

1.CD解析：

由万有引力定律和牛顿第二定律卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得

；若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T、角速度

或线速度v，可求得中心天体的质量为

，所以选项CD正确。

2.D提示：

根据万有引力公式

可知，要想求出该行星所受的万有引力，除了知道公转周期T和轨道半径r外，还要知道该行星的质量m，所以选项A错误；若已知该行星的密度和半径，可求出该行星的质量，但求不出该行星的轨道半径，选项B错误；因为该行星围绕的类似于太阳的中心天体不同于太阳，所以不能根据地球的公转周期与轨道半径以及该行星的公转周期，利用开普勒第三定律求出该行星的轨道半径，选项C错误；在星球表面，物体的万有引力近似等于重力，所以有

可得

，可见，若该行星的密度与地球的密度相等，就可求出该行星的质量和半径，就可求出该行星表面的重力加速度，选项D正确。

】

2.没有行星或卫星绕行的天体质量对于没有行星或卫星绕行的天体，若已知该天体的半径和它表面的重力加速度，可应用万有引力近似等于重力这一关系，建立方程求解，计算出它的质量。

设待计算天体的质量为M，半径为R，它表面的重力加速度为

，设该天体表面有一物体质量为m，根据万有引力近似等于重力，则有

，得此天体的质量为

。

附带说明一点，由

得出

，此式在解析天体运动问题时很有用，被称为黄金代换式。

例4（20XX届·浙江省宁波市高三期末考试）1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间T2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离为L2．你能计算出（）

A．地球的质量

B．太阳的质量

C．月球的质量

D．可求月球、地球及太阳的密度

解析：

在地球表面，物体的重力近似等于其万有引力，所以有

，可求得：

，所以选项A正确；太阳对地球的万有引力提供其绕太阳公转时的向心力，所以有

，可求得：

，选项B正确；已知地球半径，还可以求出地球的密度，但根据题中条件，无法求出月球的质量及其密度和太阳的密度，所以选项CD错误。

本题答案为AB。

例5假设我国某宇航员踏上一半径为R的球状星体，该宇航员在该星体上能否用常规方法测量出此星体的质量？

如果能测出，需用何器材，简述测量方法。

解析：

待测星体没有行星或卫星绕行，可应用在星体表面星体与宇航员间的万有引力近似等于宇航员的重力这一关系，测出该星体的质量。

据

，得此星体的质量为

，由于半径R已知，只要再测出该星体表面的重力加速度

，就能测出此星体的质量。

方法1：

在星体表面用天平称量出某物体A的质量，再用弹簧秤悬吊物体A处于平衡状态，读出弹簧秤的示数F，则

=F/m，所以该星体的质量为

。

方法2：

使一物体由静止开始自由下落，用米尺测量下落的高度h，用秒表测量下落的时间t，则有

，

，所以该星体的质量为

。

计算天体的质量有多种方法，要审清题设条件，根据题设条件采用合适的方法。

针对练习1“嫦娥一号”卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进人近月圆轨道绕月飞行．若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的1／6，月球半径为地球半径的1／4，据以上信息得（）

A．绕月与绕地飞行周期之比为

B．绕月与绕地飞行周期之比为

C．绕月与绕地飞行向心加速度之比为1：

6D．月球与地球质量之比为1：

96

针对练习2（20XX届·辽宁省五校协作体高三期末联合考试理综卷）在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度g值，g值可由实验精确测定．近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测g归于测长度和时间，以稳定的氦氖激光为长度标准，用光学干涉的方法测距离，以铷原子钟或其他手段测时间，能将g值测得很准，具体做法是：

将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点向上抛小球又落到原处的时间为T2，在小球运动过程中经过比O点高H的P点，小球离开P点到又回到P点所用的时间为T1，测得T1、T2和H，可求得g等于（）

A.

B.

C.

D.

【参考答案：

1.ACD.提示：

mg=m（

）2R，T2∝

选项A正确B错误；“嫦娥一号”绕近地圆轨道与绕近月圆轨道飞行时，万有引力提供向心力，而万有引力近似等于卫星重力，故其重力提供向心力，重力加速度近似等于向心加速度，故选项C正确；根据G

=mg，得M=

可知选项D正确.2.A解析：

根据题意，小球从O点自由下落到P点的时间为T1/2，自由下落到原处的时间为T2/2，所以有

，化简可求得，g=

，选项A正确。

本题答案为A。

】

知识点二双星模型、多星模型

1.双星模型宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星