实变函数复习资料带答案doc.docx
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实变函数复习资料带答案doc
《实变函数
试卷一
一、单项选择题(3分X5=15分)
1、下列各式正确的是()
oooooooo
(A)limA=unA;(B)limA=nuA;
n—h=1k=n,?
一z?
=lk=n
00000000
(C)limA"=nu;(D)lim=Ak;
打一>ooz:
=lk=nz?
=lk=n
2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是()
(A)~P=c(B)mP=0(C)P=P(D)P=P
3、下列说法不正确的是()
(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测
4、设以(4是£上的e有限的可测函数列,则下而不成立的
是()(A)若又(x)=>/(x),则又(x)+/(x)(B)
sup{/„Cr)}是可测函数(Oinf{//%)}是可测函数;(D)若
/TH
又⑺=>/U),则/(X)可测
5、设f(X)是上有界变差函数,则卜*面不成立的是
()(A)/(X)在[6Z,/7]上有界(B)/(X)在[6/,刎上儿
乎处处存在导数
cb
(C)/(X)在上L可积(D)Jaf\x)cbc=f(b)-f(a)
2.填空题(3分X5=15分)
1、(CsAuCv5)n(A-(A-B))=
2、设£是[0,1]上有理点全体,则
E-,E-,E-.
3、设£是/?
。
中点集,如果对任一点集r都,贝1J称£是£可测的
4、/⑶可测的条件是它可以表成一列简单函数的极
限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)
5、设/(x)为上的有限函数,如果对于的一切分划,
使,则称/(x)为
[6Z,/7]上的有界变差函数。
三、下列命题是否成立?
若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分X4=20分)1、设Ec/?
1,若万是稠密集,则C£是无处稠密集。
2、若mE=O,则£一定是可数集.
3、若|/(x)|是可测函数,则/(x)必是可测函数
4、设7Xx)在可测集£上可积分,若\/^£,/0)〉0,贝^
四、解答题(8分X2=16分).
了,则/(x)在[0,1]上是否/?
-
U,x为南理数
可积,是否L-可积,若可积,求出积分值。
ln(x+n)
2、(6分)设/(X)是(-oo,+oo;)上的实值连续函数,则对于任意
一、1.C2D3.B4.A5.D
二、1.02、[0,1];0;[0,1]3,
mT-m(Tn£)+m'(TnCE)
4、充要5、ip,⑷-,(么叫成一有界数集。
三、1.错误2分例如:
设£是[0,1]上有理点全体,则£和(?
£都在丨0,1]中稠密5分
2.错误2分例如:
设£是0/*厂集,则m£=0,但£=(:
故
其为不可数集5分
3.错误例如:
设£是卜,^上的不可测集,
则l/W|是h,/7]上的可测函数,但/(X)不是[以]上的可测函数…
4.错误m£=0时,对E上任意的实函数/⑺都有]7(%咏=0
E
四、1./⑴在[0,1]上不是/?
-可积的,因为/Cr)仅在x=l处
常数61,£={%|/(;1)^}是闭集。
3、(6分)在上的任一有界变差函数/(幻都可以表示为两个增函数之差。
/•U)二
X,XE£;
-x,xe[a,b]-E;
4、(6分)设772£<00,/(幻在£上可积,A=£(1/1^7),贝IJlimz?
-men=0.
n
fc5、(10分)设/(幻是£上^.有限的函数,若对任意5〉0,
存在闭子集^c£,使/(x)在^上连续,且
证明:
/(幻是£上的可测函数。
(兽津定理的逆定理
题瞥(参考答案及评分标准)
连续,即不连续点为正测度集……..3分因为/(x)是有界可测
函数,/(x)在[0,1]上是L-可积的."6分
因为/(x)与x2“.e.相等,进一步,J*Q1/(x)tZr==丄...8分
2.解:
设人⑺=lnCY+/?
)fcow,则易知当,74oo时,n
又⑺七02分
ln(A+n)"+%ln(X+n)<^^<^(l+x)……4分3.
x+nIn3
从而使得I人(那〒(1+x)e~x
但是不等式右边的函数,在f0,+oo;)上是L可积的,故有
lim£fn{x)dx=£lim/n(^x)dx=08分
五、1.设£=[0,1],Zl=£n2,S=£\(£n2).
•.•S是无限集,.可数子集A/cS2分
...欠是可数集,•••欠uA/口M..3
分
vB=Mu(B\A/),£=AuB=AuA/u(B\M),
•••£*]B,:
.B=c.6分
2.Vxg£',则存在肿的互异点列UJ,使limx„=x.2
分
•••x,£,•••f(xn)>a3分
•••/(x)在x点连续,人/(%)=limf(xn)>a
Z?
—>oo
•••xeE5分
•••£是闭集..6分
对r=l,3J>0,使对任意互不相交的有限个
(6Zp/7,.)C(6Z,/?
)
当X汝-w时,有11,⑻/-,⑷I<12分
/=1/=1
将等分,使对'•=1
/=1
/(x)在上是有界变差函数5分
Xib
所以!
/(/)《1,从而因此,/⑴是[6/,糾上的有界
•力-1〃
变差函数..6分
4、/(幻在£上可积
=>limm£(|/|>/7)=m£(|/1=+oo)=0……2分
据积分的绝对连续性,\/£>^3S>^\/eczEjne
对上述〉0,彐々,Vm〉k,mE(\f\>n)
n.men<[|/(x)\dx<£,HPlimn.men=0
5.W,存在闭集7;c£,m(£-尺)<去,,⑺在连
令=,则\/妊/^3々,xen/;,VdxeFn=>f(x)
k=[n=k
oo
oo
又对任意)t,m(E-F) n=k n=k oo X^(£-FJ<-r n=k 故m(E—F)=0,f(x)在Fc£连续•.8分又m(£-F)=0,所以/(x)是£-F上的可测函数,从而是£上 的 可测函数 ••10分 《实变函数》试卷二 1.单项选择题(3分X5=15分) 1.设A/,7V是两集合,则() (A)M(B)N(0MoN⑼0 2.下列说法不正确的是() (A)的任一领域内都有£中无穷多个点,则忍是£的聚点 (B)戽的任一领域内至少冇一个£中异于戽的点,则戽是£的聚点 (C)存在£中点列{G},使尺4尺,则6是£的聚点 (D)内点必是聚点 3.下列断言()是正确的。 (A)任意个开集的交是开集;(B)任意个闭集的交是 闭集; (O任意个闭集的并是闭集;(D)以上都不对; 4.下列断言中()是错误的。 (A)零测集是可测集;(B)可数个零测集的并是 零测集; (C)任意个零测集的并是零测集;(D)零测集的任意子集是可测集; 5. )是正确 若/(%)是可测函数,则下列断言( (A)/(%)在[“,/? ]L-可积<=>|/Cx)|在[“,/? ]£-可积; (B)/(%)在[«,/? ]/? -可釈/(%)|在[^,/? ]/? -可积⑹/O)在[“,/? ]£-可积e>|/00|在[(/,/? ]/? -可积; (D)/(x)在(6Z,+oo)/? -广义可积=>/(x)在(a,+oo)L-可积 2.填空题(3分X5=15分) 1、设久=[丄,2-丄],打=1,2广.,则UnM,,=。 nn 2、设尸为Cantor集,则7=,mP=,P=。 3、设⑻是一列可测集,则mfCs,.] v=17z=i 4、鲁津定理: 5、设F(x)为上的有限函数,如果则 称F(x)为上的绝对连续函数。 3.下列命题是否成立? 若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分X4=20分) 1、由于[0,1]-(0,1)={0,1},故不存在使(0,1)和[0,1]之间1-1对应的映射。 2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。 3、6^.收敛的函数列必依测度收敛。 4、连续函数一定是奋界变差函数。 四•解答题(8分X2=16分) 设瓜)’贝1W)在M上是否/? -可积 是否L-可积,若可积,求出积分值。 2、求极限 sin3nxdx. 五•证明题(6分X3+8x2=34分) 1.(6分)1、设f(X)是(-oo,+oo)上的实值连续函数,则对任意 常数c,E={x\/(x)>c}是一开集. 2.(6分)设£〉0,3开集G=)£,使m\G-£) 3.(6分)在上的任一有界变差函数./‘(X)都可以表示为两个増函数之差。 4.(8分)设函数列/Jx)(”=1,2,…)在有界集£上“基本上”一致收敛于/(x),证明: /».e.收敛于/(x)。 5.(8分)设/(幻在£=[6/,/? ]上可积,则对任何£〉0,必存在F上的连续函数p(x),使/(%)-(p(x)\dx (答案及评分标准)一、1,C2,C3,B4,C5, A 二、1,(0,2)2,c;0;03,<4,设/(又)是£ 上tzr.有限的可测函数,则对任意5〉0,存在闭子集么(=£,使得/U)在^上是连续函数,Km(£\£J<^o 5,对任意£〉0,35〉0,使对中互不相交的任意有限个 /I 开区间=1,2,只要就冇'•=1 /=! 三、1.错误记(0,1)中有理数全体 识(0)=ZJpf,识 (1)=厂2 R={rrr^-}\ 吹)=h,《=1,2". (p(x)=x,x为[0,1]中无理数, 显然减[0,1倒(0,1)上的1-1映射。 5分 OOoo 2.正确…设E,.为零测度集,,所以,/=1'=1 ‘(0^)=0因此,0乓是零测度集。 5分 /=! '=1 3.错误。 例如: 取£=(0,+oo),作函数列: Jl,xe(O,zzJ fn\X)=<77=1,2,… lO,XG(Z2,+oo) 显然f人x)->1,当xe£o但当0<<7<1时 £[|/w-l|>cr]=(n,+oo) 且m(n,+oo)=+oo这说明人(x)不测度收敛到1.5分 4•错误……2分例如: /(x)〕-^cos—,0<x<l,显然是[0,g的0,x=0. 连续函数。 如果对[0,1]取分划7\0<丄<^^<...<丄<丄<1,则容易证2n2n-\32 明-从而得到V(/)=oo*"5分 /=1/=! 1° 四、1./(X)在丨0,1]上不是/? -可积的,因为/⑴仅在x=l处 连续,即不连续点为正测度集3分 因为/(x)是有界可测函数,所以/(x)在0,上是L-可积的
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