三角形的等积变形(一)Word文件下载.doc
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二校
张琦锋
审核
张舒
这节课,我们一起来学习三角形的等积变形,它是几何问题中在求直线型面积时,很重要的一个部分,下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。
三角形面积的计算公式:
S=底×
高÷
2
三角形面积、底和高之间的关系:
从公式我们可以发现:
三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积。
如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小);
如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小);
①当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化。
②当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化。
一个三角形的面积变化与否取决于它的底和高的乘积,而不仅仅取决于底或高的变化。
③一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状。
重要结论:
①等底等高的两个三角形面积相等。
②若两个三角形的高相等,其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
③若两个三角形的底相等,其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
例1如图,在△ABC中,D是BC边上一点,BD=12厘米,DC=4厘米。
(1)求△ABC的面积是△ABD面积的多少倍;
(2)求△ABD的面积是△ADC面积的多少倍。
分析与解:
因为△ABD、△ABC和△ADC分别以BD、BC和DC为底时,它们的高都是过A点向BC边上所作的垂线,也就是说三个三角形的高相等。
因为,12+4=16,16÷
12=,所以△ABC的底是△ABD的底的倍,所以,△ABC的面积是△ABD面积的倍;
同理,因为12÷
4=3,所以△ABD的面积是△ADC面积的3倍。
巩固理解结论:
两个三角形等高时,面积的倍数=底边长的倍数。
例2如图,E在AD上,AD垂直于BC,AD=12厘米,DE=3厘米。
求△ABC的面积是△EBC面积的几倍。
因为AD垂直于BC,所以当BC为△ABC和△EBC的底时,AD是△ABC的高,ED是△EBC的高。
于是:
△ABC的面积=BC×
12÷
2=BC×
6;
△EBC的面积=BC×
3÷
1.5。
所以△ABC的面积是△EBC的面积的4倍。
两个三角形等底时,面积的倍数=高的倍数。
例3如图,在梯形ABCD中,AC与BD是对角线,其交点为O,求证:
△AOB与△COD面积相等。
∵△ABC与△DBC等底等高,
∴=。
又∵=-,
=—,
例4如图,△ABC的面积是24,D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。
求△DEF的面积。
∵D是BC的中点,
∴△ADC的面积是△ABC面积的一半,即24÷
2=12。
∵E是AC的中点,
∴△ADE的面积是△ADC面积的一半,即12÷
2=6。
∵F是AD的中点,
∴△DEF的面积是△ADE面积的一半,即△DEF的面积=6÷
2=3。
例5如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,AF=2CF,△AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米。
则平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米?
连结FB。
因为AF=2CF,所以△AFB的面积是△CFB的面积的2倍。
又因为E为AB的中点,所以△AFB的面积是△AEF的面积的2倍。
所以△ABC的面积是△AEF的面积的3倍。
又因为平行四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍,
所以平行四边形ABCD的面积是△AFE的面积的3×
2=6倍。
因此,平行四边形ABCD的面积为8×
6=48(平方厘米)。
(答题时间:
30分钟)
1.用两种不同的方法,把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。
2.如图,在长方形ABCD中,AD为8厘米,AB为3厘米。
请问:
阴影部分的面积是多少平方厘米?
3.如图,在△ABC中,D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点,已知=27平方厘米,求。
4.如图所示,梯形ABCD的上底AD长为5厘米,下底BC长为12厘米,腰CD的长为8厘米,过B点作CD的垂线BE,BE的长为9厘米。
那么梯形ABCD的面积是多少?
5.如图所示,正方形ABCD的边长为10,三角形BEF的面积为30。
那么BF的长度为多少?
1.解:
解法一:
如图
(1),将BC边四等分,连接A与各等分点,则△ABD、△ADE、△AEF、△AFC的面积相等。
解法二:
如图
(2),D是BC的二等分点,E、F分别是AC、AB的中点,从而得到四个等积三角形△ADF、△BDF、△DCE、△ADE。
解法三:
如图(3),D是BC的四等分点,E、F是AD的三等分点,从而得到△ABD、△AEC、△ECF、△FCD的面积相等。
2.解:
可以通过等积变形把三个阴影三角形变成长方形的一半,所以阴影部分的面积为8×
2=12(平方厘米)。
3.解:
因为D为BC边的三等分点,所以=9平方厘米。
同理==6平方厘米,==4平方厘米,所以=27-9-6-4=8平方厘米。
4.解:
连接BD,作出梯形的一条高DF。
三角形BCD以CD为底、BE为高,面积为8×
9÷
2=36(平方厘米);
也可以看做以BC为底、DF为高,由BC=12厘米可知DF为36×
2÷
12=6(厘米)。
在梯形ABCD中,上底为5厘米,下底为12厘米,高为6厘米,面积为(5+12)×
6÷
2=51(平方厘米)。
5.解:
三角形ABE中以AB为底,相应的高与正方形的边长相等,即为10,所以三角形ABE的面积为10×
10÷
2=50。
三角形ABF的面积为50-30=20。
在三角形ABF中以AB为底,由面积反求出高BF为20×
10=4。
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