《信号与系统》学习笔记Word格式文档下载.docx

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4）能量信号与功率信号

能量信号——信号总能量为有限值而信号平均功率为零；

功率信号——平均功率为有限值而信号总能量为无限大。

5）一维信号与多维信号

信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维或多维函数。

6）因果信号

若当t<

0时f（t）=0,当t>

0时f（t）≠0的信号,称为因果信号；

非因果信号指的是在时间零点之前有非零值。

4、信号的基本运算：

信号的＋、－、×

运算:

两信号f1（·

）和f2（·

）的相＋、－、×

指同一时刻两信号之值对应相加减乘。

平移:

将f（t）→f（t+t0）称为对信号f（·

）的平移或移位,若t0<

0，则将f（·

）右移,否则左移。

反转:

将f（t）→f（–t）或f（k）→f（–k）称为对信号f（·

）的反转或反折，从图形上看是将f（·

）以纵坐标为轴反转180°

。

尺度变换（横坐标展缩）：

将f（t）→f（at），称为对信号f（t）的尺度变换。

若a>

1，则f（at）将f（t）的波形沿时间轴压缩至原来的1/a；

若0<

a<

1，则f（at）将f（t）的波形沿时间轴扩展为原来的a倍。

微分：

信号f（t）的微分运算指f（t）对t取导数，即：

信号经过微分运算后突出显示了它的变化部分，起到了锐化的作用。

积分：

信号f（t）的积分运算指f（t）在（-∞，t）区间内的定积分，表达式为：

信号经过积分运算后，使得信号突出变化部分变得平滑了，起到了模糊的作用，利用积分可以削弱信号中噪声的影响。

5、典型的连续时间信号

1）实指数信号：

（对时间的微、积分仍是指数。

）

a>

0时，信号将随时间而增长；

0时，信号将随时间而衰减；

a=0时，信号不随时间而变化，为直流信号。

τ是指数信号的时间常数，τ越大，指数信号增长或衰减的速率越慢。

2）正弦信号：

对时间的微、积分仍是同频率正弦。

3）复指数信号：

（）

实际不存在，但可以用于描述各种信号。

σ>

0时，增幅振荡正、余弦信号；

σ<

0时，衰减振荡正、余弦信号；

σ=0时等振幅振荡正、余弦信号；

ω=0时，实指数信号；

σ=0且ω=0时，直流信号。

4）抽样信号：

Sa（t）具有以下性质：

，；

Sa（0）=1，Sa（t）=0（t=±

π，±

2π，…）。

5）钟形信号：

6、单位阶跃函数和单位冲激函数

1）单位阶跃函数：

可以方便地表示某些信号，用阶跃函数表示信号的作用区间，积分计算；

单位冲激函数为偶函数：

；

加权特性：

抽样特性：

尺度变换：

，，，；

导数（冲激偶）：

，

冲激偶的抽样特性：

，，

冲激偶的加权特性:

，。

2）单位冲激函数：

单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。

3）冲激函数与阶跃函数关系:

阶跃函数序列与冲激函数序列。

7、信号的分解

直流分量fD与交流分量fA（t）:

，其中fD为直流分量即信号的平均值。

偶分量与奇分量：

，其中fe=为偶分量，fo=为奇分量。

脉冲分量

一种分解为矩形窄脉冲分量：

另一分解为阶跃信号分量之叠加。

实部分量与虚部分量：

对于瞬时值为复数的信号f（t）可分解为实、虚部两个部分之和。

正交函数分量：

，用正交函数集来表示一个信号，组成信号的各分量就是相互正交的。

8、系统：

若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。

9、系统的分类及性质

连续系统与离散系统：

输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统；

输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。

连续时间系统的数学模型是用微分方程来描述，而离散时间系统的数学模型是用差分方程来描述。

动态系统与即时系统：

若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统；

含有记忆元件（电容、电感等）的系统是动态系统，否则称即时系统或无记忆系统。

线性系统与非线性系统：

能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统。

满足叠加性是线性系统的必要条件；

不能同时满足齐次性与叠加性的系统称为非线性系统。

时不变系统与时变系统：

满足时不变性质的系统称为时不变系统。

时不变性质:

若系统满足输入延迟多少时间，其激励引起的响应也延迟多少时间。

因果系统与非因果系统：

激励引起的响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统；

也就是说，如果响应r（t）并不依赖于将来的激励[如e（t+1）]，那么系统就是因果的。

稳定系统与不稳定系统：

一个系统，若对有界的激励f（.）所产生的响应y=f（.）也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定；

即若│f（.）│<

∞，其│yf（.）│<

∞，则称系统是稳定的。

线性时不变系统：

LTI连续系统的微分特性和积分特性

线性性质包括两方面：

齐次性和可加性，若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的，即T[af1（·

）+bf2（·

）]=aT[f1（·

）]+bT[f2（·

）]。

当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：

可分解性+零状态线性+零输入线性。

10、描述连续动态系统的数学模型是微分方程，描述离散动态系统的数学模型是差分方程。

解析描述-系统模拟框图描述。

11、系统分析研究的主要问题：

对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应；

也可以说，系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。

采用的数学工具：

卷积积分与卷积和，傅里叶变换，拉普拉斯变换，Z变换。

第二章连续系统的时域分析

微分方程的经典解法

0+和0-初始值

零输入响应与零状态响应

冲激响应和阶跃响应

卷积积分

1、微分方程的一般形式：

微分方程的经典解：

y（t）（完全解）=yh（t）（齐次解）+yp（t）（特解）

齐次解是齐次微分方程的解，yh（t）的函数形式由上述微分方程的特征根确定，而特解的函数形式与激励函数的形式有关。

齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f（t）数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；

特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。

2、全响应＝齐次解（自由响应）＋特解（强迫响应）。

齐次解：

写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）；

根据特征根的特点，齐次解有不同的形式；

一般形式（无重根）：

特解：

根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定；

在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。

用初始值确定积分常数，一般情况下，n阶方程有n个常数，可用n个初始值确定。

3、0-状态称为零输入时的初始状态，即初始值是由系统的储能产生的；

0+状态称为加入输入后的初始状态，即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。

从0-状态到0+状态的跃变：

当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含δ（t）及其各阶导数；

如果包含有δ（t）及其各阶导数，说明相应的0-状态到0+状态发生了跳变。

0+状态的确定：

已知0-状态求0+状态的值，可用冲激函数匹配法；

求0+状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。

4、各种响应用初始值确定积分常数：

在经典法求全响应的积分常数时，用的是0+状态初始值；

在求系统零输入响应时，用的是0-状态初始值；

在求系统零状态响应时，用的是0+状态初始值，这时的零状态是指0-状态为零。

5、冲激函数匹配法：

目的：

用来求解初始值，求（0＋）和（0-）时刻值的关系；

应用条件：

如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0-）时刻的值；

原理：

利用t＝0时刻方程两边的δ（t）及各阶导数应该平衡的原理来求解（0＋）。

6、零输入响应：

没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应；

零状态响应：

不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生的响应；

LTI的全响应：

y（t）=yx（t）+yf（t）。

1）零输入响应，即求解对应齐次微分方程的解：

当特征方程的根（特征根）为n个单根（不论实根、虚根、复数根）λ1，λ2，…，λn时，则yx（t）的通解表达式为：

当特征方程的根（特征根）为n个重根（不论实根、虚根、复数根）λ1=λ2=…=λn时，yx（t）的通解表达式为:

步骤总结：

求系统的特征根，写出yx（t）的通解表达式；

由于激励为零，所以零输入的初始值：

，确定积分常数C1、C2、…、Cn；

将确定出的积分常数C1、C2、…、Cn代入通解表达式，即得yx（t）。

2）零状态响应，即求解对应非齐次微分方程的解：

基本步骤：

求系统的特征根，写出的通解表达式yfh（t）；

根据f（t）的形式，确定特解形式，代入方程解得特解yfp（t）；

求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根据冲激函数匹配法求得，确定积分常数C1、C2、…、Cn；

将确定出的积分常数C1、C2、…、Cn代入全解表达式，即得。

几种典型自由项函数相应的特解：

7、系统响应划分：

自由响应（Natural）＋强迫响应（forced）；

暂态响应（Transient）+稳态响应（Steady-state）；

零输入响应（Zero-input）＋零状态响应（Zero-state）。

零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响应的一部分和强迫响应构成。

8、冲激响应：

系统在单位冲激信号δ（t）作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h（t）表示。

阶跃响应：

系统在单位阶跃信号u（t）作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g（t）表示。

阶跃响应与冲激响应的关系：

线性时不变系统满足微、积分特性、。

阶跃响应是冲击响应的积分，注意积分限，对于因果系统为。

9、任意信号的分解：

任意信号作用下的零状态响应：

卷积定义：

已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1（t）和f2（t），则定义积分：

于是，任意信号的零状态响应即为：

卷积的计算步骤可分解为四步：

1）换元：

t换为τ→得f1（τ）、f2（τ）；

2）反转平移：

由f2（τ）反转→f2（–τ）右移t→f2（t-τ）；

3）乘积：

f1（τ）*f2（t-τ）；

4）积分：

τ从–∞到∞对乘积项积分。

10、卷积的性质

交换律：

ƒ1（t）*ƒ2（t）=ƒ2（t）*ƒ1（t）；

分配律：

ƒ1（t）*[ƒ2（t）+ƒ3（t）]=ƒ1（t）*ƒ2（t）+ƒ1（t）*ƒ3（t）；

结合律：

[ƒ1（t）*ƒ2（t）]*ƒ3（t）=ƒ1（t）*[ƒ2（t）*ƒ3