高等数学配套教学课件3年专科第三版盛祥耀第三节函数的微分及其应用PPT课件下载推荐.ppt
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第三节函数的微分及其应用,一、微分概念,二、微分的几何意义,第二章导数与微分,三、微分的基本公式及其运算法则,四、微分在近似计算中的应用,当边长增加x时,,一、微分概念,先来看一个例子,边长为x的正方形,,其面积增加多少?
@#@,面积的增加部分记作S,,则,S=(x+x)2-x2,=2xx+(x)2,,当x很小时,例如x=1,x=0.01,则2xx=0.02,,设正方形的面积为S,,而另一部分x2=0.0001,,当x越小时,,x2部分就比2xx小的更多.,因此,如果要取S的近似值时,,显然2xx是S的一个很好的近似,,2xx就称为S=x2的微分.,定义设函数y=f(x)在点x的一个邻域内有定义,,y=Ax+,,其中A与x无关,是x的高阶无穷小量,,则称Ax为函数y=f(x)在x处的微分,记作dy,即,dy=Ax.,这时也称函数y=f(x)在点x处可微.,如果函数f(x)在点x处的增量y=f(x+x)-f(x)可以表示为,例1设y=x3,求x=1处的微分.,解,y=(1+x)313=3x+3(x)2+(x)3.,上式可以看成两部分组成,,它是x的高阶无穷小量,,所以函数y=x3在点x=1处的微分是,dy=3x.,为了方便起见,把自变量的增量x写成dx,即,x=dx.,从而,dy=Adx.,第一部分具有Ax形式的是3x,,第二部分是3(x)2+(x)3,,这是因为,则函数y=f(x)在点x处可导,,反之,如果函数y=f(x)在点x处可导,,证因为f(x)在点x处可微,,即f(x)在点x处可导,且A=f(x).,y=Ax+.,且A=f(x).,所以有,定理1设函数y=f(x)在点x可微,,则f(x)在点x可微.,从而有,(这是根据极限与无穷小的关系得出的).,得,y=f(x)x+x.,所以,函数f(x)可微.,且,dy=f(x)x或,dy=f(x)dx.,反之,因f(x)在x处可导,,即,我们可以把理解为两个微分的商.,函数f(x)在x处可微的充要条件是函数f(x)在x处可导.,上述定理可叙述为:
@#@,式也可以写为,此式说明,dy与dx之商即函数的微分与自变量微分之商就是函数f(x)的导数.,因而,导数也称为微商.,解因为,所以,例2求函数y=2lnx在x处的微分,并求当x=1时的微分(记作dy|x=1).,N,T,M,P,二、微分的几何意义,如图所示,,就是曲线y=f(x)在点P处切线的纵坐标在相应处x的增量,,而y就是曲线y=f(x)的纵坐标在点x处的增量.,x,x+x,PN=dx,,NM=y,,所以dy=NT,,NT=PNtan,=f(x)dx,,即函数y=f(x)的微分dy,1.基本初等函数的微分公式,dc=,三、微分的基本公式及其运算法则,0.,dx=,x-1dx.,dex=,exdx.,dax=,axlnadx.,dsinx=,cosxdx.,dcosx=,-sinxdx.,dtanx=,sec2xdx.,dcotx=,-csc2xdx.,dsecx=,secxtanxdx.,dcscx=,-cscxcotxdx.,2.微分的四则运算,定理2设函数u、v可微,,则,d(uv)=dudv.,d(uv)=udv+vdu.,证上述三个公式证法均类似,,其余由读者作为练习自证之.,d(uv)=(uv)dx=(uv+vu)dx,=uvdx+vudx.,因为vdx=dv,udx=du.,所以有,d(uv)=udv+vdu.,推论1当v为常数c时,则d(cu)=cdu.,推论2当v=1时,,我们只证第二个,,则,例3设y=3extanx,,求dy.,解,dy=d(3ex)dtanx,=3dexsec2xdx,=3exdxsec2xdx=(3exsec2x)dx.,例4设y=excosx,求dy.,解,dy=d(excosx),=exdcosx+cosxdex,=-exsinxdx+excosxdx,=ex(cosx-sinx)dx.,解,3.复合函数的微分,定理3设函数y=f(u),u=(x)均可微,,dy=f(u)(x)dx.,则y=f(x)也可微,,且,由于du=(x)dx,,所以上式可写为,dy=f(u)du.,从上式的形式看,,它与y=f(x)的微分dy=f(x)dx形式一样,这叫一阶微分形式不变性.,其意义是:
@#@不管u是自变量还是中间变量,函数y=f(u)的微分形式总是dy=f(u)du.,例6设y=sin(2x),求微分dy.,解利用微分形式不变,,有,dy=cos2xd(2x)=2cos2xdx.,例7设y=e-3xcos2x,求dy.,解,dy=d(e-3xcos2x),=e-3xdcos2x+cos2xde-3x,=-e-3xsin2xd(2x)+cos2xe-3xd(-3x),=-e-3x(2sin2x+3cos2x)dx.,由此也可知,y=-e-3x(2sin2x+3cos2x).,=-2e-3xsin2xdx-3cos2xe-3xdx,四、微分在近似计算中的应用,当|x|很小时(记作|x|1),,ydy.,即,f(x0+x)-f(x0)f(x0)x,,或,f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0).,有,解球的体积公式是,当r由4m增加到4+0.1m,,v的增加为v时,,vdv.,而dv=vdr=4r2dr,,即,v4r2dr.,此处dr=0.1,r=4.代入上式得体积近似增加了,v43.14420.120(m3).,例8一个充好气的气球,半径为4m.,升空后,因外部气压降低气球半径增大了10cm,,问气球的体积近似增加多少?
@#@,例9计算cos3012的近似值.,解选函数f(x)=cosx,,f(x)=-sinx,,f(x0)=cos30,,代入公式,f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0),,得,例10计算的近似值.,解选函数,f(x0)=2,,代入公式,f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0),,得,例11试证当|h|1时,,eh1+h.,证选函数f(x)=ex,x0=0,,则x=h.,f(0)=1,,f(0)=1,,代入公式,f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0),,有,eh1+1(h-0)=1+h.,f(x)=ex,,
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