高等数学(少学时)(第二版) 第5章 定积分及其应用 第5章教案 (本章节完整)Word下载.doc
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(即轴)所围成的平面图形叫作曲边梯形
(如图5-1).在轴上区间内的线段叫作曲
边梯形的底.
下面讨论曲边梯形面积的计算问题.
在初等数学中,我们知道矩形面积=底高,将曲边梯形和矩形作比较,区别在于:
矩形的四边是直的,而曲边梯形有一边是曲的.这样就导致曲边梯形的高是随的变化而变化的,计算其面积就有难度.但由于曲线是连续的,所以,当点在区间上变化很小时,则相应的高也就变化不大.基于这种想法,可以用一组垂直于x轴的直线将曲边梯形分割成若干个小
曲边梯形,然后对每一个小曲边梯形都作一个相应的
小矩形,用小矩形的面积来代替小曲边梯形的面积.
这样用这些矩形的面积和就可以近似地代替曲边梯形
的面积.显然,分割得越细,近似程度就越好,
当这种分割无限加细,即把区间无限细分,使
每个小区间长度趋于零,则所有小矩形的面积之和的
极限就是曲边梯形的面积.
根据以上分析,我们可按如下步骤计算曲边梯形图5—2
的面积,如图5-2所示
(1)分割:
任取分点把区间分成n个小区间
.
小区间段的长度.
图5-1
图5-2
过每个分点作轴的垂线,把曲边梯形AabB分成n个小曲边梯形,每个小曲边梯形的面积记为.
(2)近似代替:
在每个小区间内任取一点,以为高,为底作小矩形,用此小矩形的面积来近似代替小曲边梯形的面积,即
(3)求和:
把这n个小矩形的面积加起来,就得到曲边梯形的面积S的近似值,即
记为
(4)取极限:
若用表示所有小区间长度的最大者,当时,和式的极限就是曲边梯形的面积,即
可见曲边梯形的面积是一个和式的极限.
2.变速直线运动的路程
设一物体作直线运动,已知速度是时间的连续函数,求在时间间隔上物体所经过的路程.
我们知道,对于匀速直线运动,有公式:
路程=速度时间.现在速度不是常量,因此,不能直接使用这个公式计算路程.然而物体运动的速度变化是连续的,在很短的时间内,速度变化很小,可近似于匀速.因此,完全可以用类似于求曲边梯形面积的方法来计算路程.
任取分点把区间分成n个小时间段.第个小区间段的长度.物体在该时间段内经过的路程记为.
在每个小时间段上任取一时刻,并以时刻的速度代替时间段上的各时刻的速度,得到在时间内经过的路程的近似值,即
把这n个小时间段经过的路程相加,就得到变速直线运动路程的近似值,即
记为.
可见变速直线运动的路程也一个和式的极限.
5.1.2定积分定义
定义设函数为区间上有的有界函数.任意取分点
将区间分成n个小区间,其长度记为
,.
在每个小区间上,任取一点,得相应的函数值,作乘积
,
把所有这些乘积加起来,得和式
记,当时,如果上述和式的极限存在,则称函数在区间上可积,并将此极限值称为函数在上的定积分.记作
,即
其中称为被积函数,称为被积表达式,叫做积分变量,
为积分区间,为积分下限,为积分上限.符号读作函数从到的定积分.
根据定积分的定义,上面两个例子都可以表示为定积分:
(1)曲边梯形的面积S是曲边函数在区间上的定积分,即
;
(2)变速直线运动的路程S是速度函数在时间间隔上的定积分,即
.
关于定积分的定义,作以下几点说明:
(1)定积分值是一个常数,它只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的符号无关,即
(2)可以证明,闭区间上连续函数或只有有限个第一类间断点的函数是可积的.
(3)该定义是在积分下限小于积分上限的情况下给出的, 如果时,规定:
5.1.3定积分的几何意义
1.当时,定积分在几何上表示曲线与直及轴所围成的曲边梯形的面积(图5-1).
2.当时,定积分在几何上表示曲线与直线及轴所围成的曲边梯形的面积的负值(图5-3).
3.若函数在上有正有负时,定积分在几何上表示曲线与直线及轴所围成的各种图形面积的代数和,在轴上方的图形面积取正值,在轴下方的图形面积取负值(图5-4).
图5-3
图5-4
5.1.4定积分的基本性质
性质1常数因子可以提到积分号外面来,即
性质2两个函数的代数和的定积分等于定积分的代数和,即
性质3如果被积函数(K为任意常数),则
特别地,当=1时
性质4(积分对区间的可加性)如果积分区间被分成两个小区间及,则
性质5若在上有≤,则
≤
这个性质说明,若比较两定积分的大小,只要比较被积函数的大小即可.
性质6(估值定理)若M和m分别是函数在上的最大值和最小值,则
≤≤
性质7(定积分中值定理)如果在区间内连续,则在内至少存在一点≤≤,使得
它的几何解释是;
一条连续曲线
在上曲边梯形面积等于以区间长度
为底,中一点的函数值为高的矩形面积,如图5-5所示.
利用几何意义说明性质.
图5-5
【例1】利用定积分的性质,比较与积分值的大小.
解在区间上,满足不等示,0≤≤
因此,≤,由定积分的性质5,得
≤
【例2】估计下列定积分的值:
(1)
(2)
解
(1)因为4≤≤9,所以2≤≤3,从而有
5≤≤6
由性质6知
5(9-4)≤≤6(9-4)
即
25≤≤30
(2)首先,求在区间上的最大值和最小值,为此,求,令,得驻点.
比较驻点,区间端点的函数值
得最小值最大值
由性质6知
小结:
定积分的概念和性质
5.2牛顿-莱布尼兹公式
在上节我们给出了定积分的定义,那么怎样计算定积分呢?
因为定积分定义为和式的极限,如果用定义来计算,往往是非常复杂的,有时甚至无法计算.因此,我们必须寻求计算定积分的简单而有效的方法.这就是牛顿-莱布尼兹公式或称微积分的基本公式.
5.2.1变上限定积分
定义设函数在区间上连续,为上的任意一点,则积分存在,将称为变上限定积分,它是上限变量的函数.记作,即
.
变上限定积分有下面的重要性质.
定理1若函数在区间上连续,则变上限定积分
在区间上可导,并且它的导数等于被积函数,即
定理1告诉我们,变上限定积分是函数在区间上的一个原函数,这就肯定了连续函数的原函数总是存在的,所以,上述定理也称为原函数存在定理.
【例1】求下列函数的导数:
(1)
(2)
(3)(4)
解
(1)根据定理1,得
(2)根据定理1,得
(3)积分上限是,它是的函数,所以,变上
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