高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2.2第1课时对数函数的图象及性质学案新人教A版必修1Word格式文档下载.doc
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0可得x>
-1,所以函数的定义域为(-1,+∞),所以(3)错.
知识点2 对数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域
(0,+∞)
值域
R
过定点
过定点(1,0),即x=1时,y=0
函数值
的变化
当0<x<1时,y<0
当x>1时,y>0
当0<x<1时,y>0
当x>1时,y<0
单调性
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
【预习评价】
(1)函数f(x)=loga(2x-1)+2的图象恒过定点________.
(2)若函数y=log(2a-3)x在(0,+∞)上是增函数,则a的取值范围是________.
解析
(1)令2x-1=1,得x=1,又f
(1)=2,故f(x)的图象恒过定点(1,2).
(2)由题意2a-3>
1,得a>
2,即a的取值范围是(2,+∞).
答案
(1)(1,2)
(2)(2,+∞)
知识点3 反函数
对数函数y=logax(a>
0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>
0,且a≠1)互为反函数.
设函数f(x)=2x的反函数为g(x),若g(2x-3)>
0,则x的取值范围是________.
解析 易知f(x)=2x的反函数为y=log2x,即g(x)=log2x,g(2x-3)=log2(2x-3)>
0,所以2x-3>
1,解得x>
2.
答案 (2,+∞)
题型一 对数函数的概念及应用
【例1】
(1)下列函数表达式中,是对数函数的有( )
①y=logx2;
②y=logax(a∈R);
③y=log8x;
④y=lnx;
⑤y=logx(x+2);
⑥y=2log4x;
⑦y=log2(x+1).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4,-2),则f(8)=________.
解析
(1)由于①中自变量出现在底数上,∴①不是对数函数;
由于②中底数a∈R不能保证a>
0,且a≠1,
∴②不是对数函数;
由于⑤⑦的真数分别为(x+2),(x+1),∴⑤⑦也不是对数函数;
由于⑥中log4x的系数为2,
∴⑥也不是对数函数;
只有③④符合对数函数的定义.
(2)由题意设f(x)=logax(a>
0且a≠1),则f(4)=loga4=-2,所以a-2=4,故a=,
f(x)=x,所以f(8)=8=-3.
答案
(1)B
(2)-3
规律方法 判断一个函数是对数函数的方法
【训练1】 若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=________.
解析 由题意可知解得a=4.
答案 4
题型二 对数型函数的定义域
【例2】
(1)函数f(x)=+ln(x+1)的定义域为________.
(2)函数f(x)=的定义域为________.
解析
(1)若使函数式有意义需满足条件:
⇒取交集可得:
x∈(-1,2),故函数的定义域为(-1,2).
(2)由题意有解得x>
-且x≠0,则f(x)的定义域为∪(0,+∞).
答案
(1)(-1,2)
(2)∪(0,+∞)
规律方法 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时,被开方数非负.
(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.
【训练2】 求下列函数的定义域:
(1)f(x)=lg(x-2)+;
(2)f(x)=log(x+1)(16-4x).
解
(1)要使函数有意义,需满足
解得x>2且x≠3.
∴函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞).
(2)要使函数有意义,需满足
解得-1<x<0或0<x<4.
∴函数的定义域为(-1,0)∪(0,4).
题型三 对数函数的图象问题
【例3】
(1)函数y=loga(x+2)+1的图象过定点( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1) D.(-1,1)
(2)如图,曲线C1,C2,C3,C4分别对应函数y=loga1x,y=loga2x,y=loga3x,y=loga4x的图象,则( )
A.a4>
a3>
1>
a2>
a1>
0 B.a3>
a4>
C.a2>
0 D.a1>
(3)作函数y=|log2(x+1)|+2的图象.
解析
(1)令x+2=1,即x=-1,得y=loga1+1=1,故函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(-1,1).
(2)作直线y=1,它与各曲线C1,C2,C3,C4的交点的横坐标就是各对数的底数,由此可判断出各底数的大小必有a4>
0.
答案
(1)D
(2)A
(3)解 第一步:
作y=log2x的图象,如图
(1)所示.
第二步:
将y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度,得y=log2(x+1)的图象,如图
(2)所示.
第三步:
将y=log2(1+x)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换,得y=|log2(x+1)|的图象,如图(3)所示.
第四步:
将y=|log2(x+1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度,即得到所求的函数图象,如图(4)所示.
规律方法 1.对数函数图象过定点问题
求函数y=m+logaf(x)(a>
0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m).
2.根据对数函数图象判断底数大小的方法
作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,依据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.
3.函数图象的变换规律:
(1)一般地,函数y=f(x±
a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移得到的.
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.
【训练3】 已知a>
0且a≠1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是( )
解析 ∵函数y=ax与y=logax互为反函数,∴它们的图象关于直线y=x对称.再由函数y=ax的图象过(0,1),y=logax的图象过(1,0),观察图象知,只有C正确.
答案 C
课堂达标
1.下列函数是对数函数的是( )
A.y=loga(2x) B.y=log22x
C.y=log2x+1 D.y=lgx
解析 选项A,B,C中的函数都不具有“y=logax(a>0且a≠1)”的形式,只有D选项符合.
答案 D
2.函数f(x)=+lg(x+1)的定义域为( )
A.[-1,3) B.(-1,3) C.(-1,3] D.[-1,3]
解析 根据题意,得解得-1<
x≤3,∴f(x)的定义域为(-1,3].
3.若函数f(x)=ax-1的反函数的图象过点(4,2),则a=________.
解析 ∵f(x)的反函数图象过(4,2),∴f(x)的图象过(2,4),∴a2-1=4,∴a=4.
4.函数f(x)=的定义域为________.
解析 要使函数f(x)有意义,则x+1>
0,即x>
-1,解得0<
x<
2,即函数f(x)的定义域为(0,2).
答案 (0,2)
5.已知f(x)=log3x.
(1)作出这个函数的图象;
(2)当0<
a<
2时,利用图象判断是否有满足f(a)>
f
(2)的a值.
解
(1)作出函数y=log3x的图象如图所示.
(2)令f(x)=f
(2),即log3x=log32,解得x=2.由如图所示的图象知:
当0<
2时,恒有f(a)<
f
(2).故当0<
2时,不存在满足f(a)>
课堂小结
1.判断一个函数是不是对数函数,关键是分析所给函数是否具有y=logax(a>0,且a≠1)这种形式.
2.在对数函数y=logax中,底数a对其图象直接产生影响,学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.
3.涉及对数函数定义域的问题,常从真数和底数两个角度分析.
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