矩阵的正定性及其应用论文文档格式.doc

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Matrix'

squalitativeanditsapplication

Abstract

Matrixisqualitativecanfromsolidmatrixandcomplexmatrixtwoaspectselaborated,duetocomplexmatrixmoretediousandsomepropertiesofcomplexmatrixcanhaveamatrixonget,sohereismainlyexpoundsthematrixisqualitativeandapplication.Basedontheintroductionofamatrixofthedefinitionandisqualitativeidentificationmethod,simplecitedsomeexamplestodescribedtheapplicationofmatrixisqualitative.

Keywords:

matrix；

realmatrix；

qualitative；

application

目录

摘要-----------------------------------------------------------2

Abstract-------------------------------------------------------3

一、二次型有定性的概念--------------------------------5

二、矩阵正定性的一些判别方法-----------------------5

三、几个简单的例题--------------------------------------7

四、实矩阵正定性的一个简单应用--------------------8

结语-----------------------------------------------------------10

参考文献-----------------------------------------------------11

致谢-----------------------------------------------------------12

一、二次型有定性的概念

定义1具有对称矩阵之二次型

（1）如果对任何非零向量,都有（或）成立，则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.

（2）如果对任何非零向量,都有（或）

成立，且有非零向量，使，则称为半正定（半负定）二次型，矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）.

注:

二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.

二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.

二、矩阵正定性的一些判别方法

定理1设为正定矩阵,若,则也是正定矩阵.

定理2对角矩阵正定的充分必要条件是.

定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零.

定理4为正定矩阵的充分必要条件的正惯性指数

定理5矩阵为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：

存在非奇异矩阵,使.即合同。

推论1若为正定矩阵,则.

定理6秩为的元实二次型,设其规范形为

则：

（1）负定的充分必要条件是且（即负定二次型,其规范形为）

（2）半正定的充分必要条件是（即半正定二次型的规范形为）

（3）半负定的充分必要条件是（即）

（4）不定的充分必要条件是（即）

定义2阶矩阵的个行标和列标相同的子式

称为的一个阶主子式.而子式

称为的阶顺序主子式.

定理7阶矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有顺序主子式.

注：

（1）若是负定矩阵，则为正定矩阵,。

（2）是负定矩阵的充要条件是：

其中是的阶顺序主子式.

（3）对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:

a.对称矩阵是半正定（半负定）的;

b.的所有主子式大于（小于）或等于零；

c.的全部特征值大于（小于）或等于零.

三、几个简单的例题：

例1设M是n阶实对称矩阵,则必存在正实数t,使得tI+M为正定阵，其中I是单位矩阵。

证明：

矩阵正定的充要条件:

对任意x不等于0向量,有X'

MX>

0，X'

（TI+M）X=TX'

X+X'

MX，

在所有的X中选一个X,使X'

MX的值最小,X'

MX=-MAX,其中MAX>

0，而这时对应的X'

X的值为K,且K肯定大于0，

又K,MAX都是常数,则必存在常数T,使TK-MAX>

0，即X'

（TI+M）X=TX'

故TI+M正定.

例2设二次型

问l取何值时,f为正定二次型？

解f的矩阵为

f正定的充要条件是A的顺序主子式全大于零.事实上,A的顺序主子式为：

于是,f正定的充要条件是且.联解不等式组：

可得.

当时,f正定.

四、实矩阵正定性的一个简单应用

在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决.

定义1设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数。

记,称为函数在点处的梯度.

定义3满足的点称为函数的驻点.

定义4

称为函数在点处的黑塞矩阵。

显然是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵.

定理8（极值存在的必要条件）设函数在点处存在一阶偏导数，且为该函数的极值点，则.

定理9（极值的充分条件）设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且

则:

（1）当为正定矩阵时，为的极小值;

（2）当为负定矩阵时，为的极大值;

（3）当为不定矩阵时，不是的极值。

应注意的问题：

利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.

例3　求三元函数的极值.

解　先求驻点，由

得

所以驻点为.

再求（Hessian）黑塞矩阵

因为,

所以，可知是正定的，所以在点取得极小值：

.

当然，此题也可用初等方法求得极小值，结果一样.

结语

矩阵的正定性还有多种应用，在此就不一一列举.

参考文献

[1]王萼方《高等代数》（第三版）高等教育出版社

[2]陈公宁《矩阵理论与应用》北京:

高等教育出版社,1990

[3]陈大新《矩阵理论》上海:

上海交通大学出版社,1997

[4]孟道骥《高等代数与解析几何》科学出版社

[5]李宏伟等编《线性代数学习辅导与习题解析》科学出版社

[6]GeneHowardGolub&

CharlesF.vanLoan《MatrixComputation》

致谢

这篇耗时一个星期的论文终于写完,在电脑上敲下最后一个字的时候，我有一些成就感

……………

最后，感谢大学的生活!