直线与平面的位置关系知识点归纳文档格式.docx
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直线与平面的位置关系知识点归纳文档格式.docx
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公理1作用:
判断直线是否在平面内
(2)公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号表示为:
A、B、C三点不共线=>
有且只有一个平面α,
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:
确定一个平面的依据。
(3)公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
P
β
P∈α∩β=>
α∩β=L,且P∈L
公理3作用:
判定两个平面是否相交的依据
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1空间的两条直线有如下三种关系:
共面直线
相交直线:
同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:
同一平面内,没有公共点;
异面直线:
不同在任何一个平面内,没有公共点。
2公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
设a、b、c是三条直线
=>
a∥c
a∥b
c∥b
强调:
公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:
判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4注意点:
①a'
与b'
所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为简便,点O一般取在两直线中的一条上;
②两条异面直线所成的角θ∈(0,);
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线∥a,∥b,我们把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角。
(注意:
异面直线所成的角不大于)。
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出:
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示
aαa∩α=Aa∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:
线线平行,则线面平行。
符号表示:
aα
bβ=>
a∥α
2.2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
aβ
bβ
a∩b=Pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
线面平行则线线平行。
aβa∥b
α∩β=b
作用:
利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理:
如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
α∥β
α∩γ=aa∥b
β∩γ=b
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。
如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
L
p
α
2、判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点:
a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:
表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭lβ
α
2、二面角的记法:
二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图
平面(公理1、公理2、公理3、公理4)
空间直线、平面的位置关系
直线与直线的位置关系
平面与平面的位置关系
直线与平面的位置关系
基础练习
一选择题
1.若直线a、b都和平面α平行,则直线a、b的位置关系是( ).
A.相交 B.平行
C.异面 D.以上三者都有可能
【解析】可以画出直线a、b的三种位置关系的图形.
【答案】D
2.给出下列结论:
①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a∥b,b⊂α,则a∥α;
④若直线a∥b,b⊂α,则直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中结论正确的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】①直线l还可能在平面α内,所以①错误;
②直线a还可能与平面α相交,所以②错误;
③直线a还可能在平面α内,所以③错误;
④平面α内,与直线b平行的直线都与直线a平行,所以④正确.
【答案】A
3.如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有( ).
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
【解析】根据异面直线的定义可知共3对,分别为AP与BC,CP与AB,BP与AC.
【答案】C
4.过一点与已知直线垂直的直线有( ).
A.一条 B.两条
C.无数条 D.无法确定
【解析】过一点与已知直线垂直的直线有无数条,包括相交垂直和异面垂直.
5.在两个平面内分别取一条直线,若这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数( ).
A.有限个 B.无限个
C.没有 D.没有或无限个
【解析】两平面相交或者平行,因此这两个平面没有公共点或有无限个公共点.
6.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面( ).
A.平行 B.相交
C.平行或重合 D.平行或相交
【解析】若三点在平面的同侧,则两平面平行;
若三点在平面的异侧,则两平面相交.
7.下列说法中,正确的个数是( ).
①平行于同一平面的两条直线平行.
②直线a平行于平面α内的一条直线b,那么直线a∥平面α.
③若两平行直线中的一条与平面α相交,那么另一条也与平面α相交.
④直线a与平面α内的无数条直线相交,那么直线a在平面α内.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】只有③正确.
【答案】B
8.a,b是两条直线,α是一个平面,给出下列三个命题:
①如果a∥b,b⊂α,那么a∥α;
②如果a∥α,b∥α,那么a∥b;
③如果a∥b,a∥α,那么b∥α.
其中真命题有( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】①中,a有可能在平面α内,故①不正确;
平行于同一个平面的两条直线不一定平行,故②不正确;
③中,b有可能在平面α内,故③不正确.综上可知,选A.
9.平面α,β满足α∥β,直线a⊂α,下列四个命题中:
①a与β内的所有直线平行;
②a与β内的无数条直线平行;
③a与β内的任何一条直线都不相交;
④a与β无公共点.
其中正确命题的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】因为α∥β,直线a⊂α,所以a与β内的直线平行或异面,由此可知①错,其他均正确.
10.已知A、B、C、D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H,则四边形EFGH是( ).
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
11.若平面α外的直线a与平面α所成的角为θ,则θ的取值范围是( ).
A.(0,) B.[0,) C.(0,] D.[0,]
【解析】当a∥α时,θ=0;
当a⊥α时,θ=;
a和α斜交时,θ的取值范围是(0,),综上,θ的取值范围是[0,].
12.P为△ABC所在平面外的一点,且PA、PB、PC两两垂直,则下列命题:
①PA⊥BC;
②PB⊥AC;
③PC⊥AB;
④AB⊥BC.
其中正确的个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】∵PA⊥PB,PA⊥PC,∴PA⊥平面PBC,
∴PA⊥BC,即①正确,同理可证得②③正确.
13.室内有一根直尺,无论怎么样放置,在地面上总有这样的直线,它与直尺所在的直线( ).
A.异面 B.相交 C.平行 D.垂直
14.若平面α、β互相垂直,则( ).
A.α中的任意一条直线都垂直于β
B.α中有且只有一条直线垂直于β
C.平行于α的直线垂直于β
D.α内垂直于交线的直线必垂直于β
15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离为( ).
A. B. C. D.
【解析】利用三棱锥A1-AB1D1的体积变换:
=,则×
2×
4=×
6×
h,解得h=.
16.点P是等腰三角形ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,PA=8,在△ABC中,底边BC=6,AB=5,则P到BC的距离为( ).
A.4 B.5 C.3 D.2
【解析】作AD⊥BC于D,连接
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- 直线 平面 位置 关系 知识点 归纳