湖南省长沙市明德中学2020届高三上学期第三次阶段检测(9月月考)数学(文)试题Word文件下载.docx
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A.(1,+∞) B.(0,2) C.(1,2) D.(0,1)
6.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c若cb<cosA,则△ABC为( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
7.若a=20.3,b=0.32,c=log0.32,则a,b.c的大小顺序是( )
A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a
8.某位教师2017年的家庭总收入为80000元,各种用途占比统计如下面的折线图.2018年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形图,已知2018年的就医费用比2017年的就医费用增加了4750元,则该教师2018年的旅行费用为( )
A.21250元 B.28000元 C.29750元 D.85000元
9.阅读如图所示的程序框图,若输出的数据为58,则判断框中应填入的条件为( )
A.k≤3 B.k≤4 C.k≤5 D.k≤6
10.己知an=logn+1(n+2)(n∈N*)观察下列算式:
a1•a2=log23•log34=lg3lg2⋅lg4lg3=2;
a1a2a3a4a5a6=log23log34⋯log78=lg3lg2⋅lg4lg3⋯lg8lg7=3;
若a1a2…am=2020(m∈N*),则m的值为( )
A.22020+2 B.22020 C.22020﹣2 D.22020﹣4
11.如图,F1、F2是双曲线x2a2-y224=1(a>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线交于点A、B,若△ABF2为等边三角形,则△BF1F2的面积为( )
A.8 B.82 C.83 D.16
12.定义在R上的函数f(x)对任意x1、x2(x1≠x2)都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,且函数y=f(x﹣1)的图象关于(1,0)成中心对称,若s,t满足不等式f(s2﹣2s)≤﹣f(2t﹣t2),则当1≤s≤4时,t-2ss+t的取值范围是( )
A.[﹣3,-12) B.[﹣3,-12] C.[﹣5,-12) D.[﹣5,-12]
二、填空题:
本大题共4个小题,每小题5分共20分.谢把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
13.若0<a<1,则不等式(x﹣a)(x-1a)>0的解集是 .
14.某兴趣小组有5名学生,其中有3名男生和2名女生,现在要从这5名学生中任选2名学生参加活动,则选中的2名学生的性别相同的概率是 .
15.若x,y都是正数,且x+y=3,则4x+1+1y+1的最小值为 .
16.已知四棱锥S﹣ABCD的三视图如图所示,若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积等于 .
三、解答题:
本大题共70分
(一)必考题:
共60分
17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足cos2C﹣cos2A=2sin(π3+C)•sin(π3-C).
(1)求角A的值;
(2)若a=3且b≥a,求2b﹣c的取值范围.
18.(本小题满分12分)如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,DE=3,AF=3.
(1)证明:
平面ABF∥平面DCE;
(2)在DE上是否存在一点G,使平面FBG将几何体ABCDEF分成上下两部分的体积比为3:
5?
若存在,求出点G的位置;
若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分12分)从某企业生成的产品生产线上随机抽取200件产品,测量这批产品的一项质量指标值,由测量结果得如图所示的频率分布直方图:
(Ⅰ)估计这批产品质量指标值的样本平均x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值做代表):
(Ⅱ)若该种产品的等级及相应等级产品的利润(每件)参照以下规则(其中Z为产品质量指标值):
当Z∈(x-s,x+s)该产品定为一等品,企业可获利200元;
当Z∈(x-2s,x+2s)且Z∉(x-s,x+s)该产品定为二等品,企业可获利100元:
当Z∈(x-3s,x+3s)且Z∉(x-2s,x+2s).该产品定为三等品,企业将损失500元;
否则该产品定为不合格品,企业将损失1000元
(i)若测得一箱产品(5件)的质量指标数据分别为:
76、85、93、105、112,求该箱产品的利润;
(ii)设事件A:
Z∈(x-s,x+s);
事件B:
Z∈(x-2s,x+2s)事件C:
Z∈(x-3s,x+3s))根据经验,对于该生产线上的产品,事件A、B、C发生的概率分别为0.6826、0.9544、0.9974,根据以上信息,若产品预计年产量为10000件,试估计设产品年获利情况(参考数据:
26=5.10)
20.(本小题满分12分)已知椭圆C:
x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0),点A(1,22)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)是否存在斜率为2的直线l,使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M、N时,能在直线y=53上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足PM→=NQ→?
若存在,求出直线l的方程;
若不存在,说明理由.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=12x2,g(x)=alnx.
(1)若曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0,求实数a的值;
(2)设h(x)=f(x)+g(x),若对任意两个不等的正数x1,x2,都有h(x1)-h(x2)x1-x2>2恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若在[1,e]上存在一点x0,使得f′(x0)+1f'
(x0)<g(x0)﹣g′(x0)成立,求实数a的取值范围.
(二)选考题:
共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答:
注意只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.
22.(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|•|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为(2,π3),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
23.已知函数f(x)=x2+|x﹣2|.
(1)解不等式f(x)≤2|x|;
(2)若f(x)≥a2+4b2+5c2-14对任意x∈R恒成立,证明:
ac+4bc≤1.
1.D.
2.B.
3.A.
4.C.
5.D.
6.A.
7.C.
8.C.
9.B.
10.C.
11.C.
12.D.
13.(﹣∞,a)∪(1a,+∞)
14.25.
15.95.
16.101π5.
17
(1)∵cos2C﹣cos2A=2sin(π3+C)•sin(π3-C)
=2(32cosC+12sinC)(32cosC-12sinC)
=32cos2C-12sin2C
=32•1+cos2C2-12•1-cos2C2
=12+cos2C,
∴﹣cos2A=12,解得:
cos2A=-12.
∵A∈(0,π),2A∈(0,2π),
∴当2A=2π3时,解得:
A=π3,
当2A=4π3时,解得:
A=2π3.
(2)∵b≥a,∴A为锐角,由
(1)可得:
又∵a=3,
∴由正弦定理可得:
3sinπ3=bsinB=csinC=2,
∴2b﹣c=2(2sinB﹣sinC)=4sinB﹣2sin(2π3-B)=4sinB﹣(3cosB+sinB)=3sinB-3cosB=23sin(B-π6),
∵B∈[π3,2π3),B-π6∈[π6,π2),可得sin(B-π6)∈[12,1),
∴2b﹣c=23sin(B-π6)∈[3,23).
18.
(1)证明:
∵DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,
∴DE∥AF,∴AF∥平面DCE,
∵ABCD是正方形,AB∥CD,∴AB∥平面DCE,
∵AB∩AF=A,AB⊂平面ABF,AF⊂平面ABF,
∴平面ABF∥平面DCE;
(2)解:
假设存在一点G,过G作MG∥BF交EC于M,连接BG,BM,
由VABCDEF=VB﹣ADEF+VB﹣CDE=13×
3×
(1+3)×
32+13×
32=212,
设EG=t,则VGFBME=VB﹣EFG+VB﹣EGM=212×
38=6316,
设M到ED的距离为h,则h3=EMEC=t3-1,即h=32t,则S△BGM=34t2,
∴13×
34t2+13×
32t=6316,解得t=32,
则存在点G,满足EG=32,
即G为ED的中点时满足条件.
19.(Ⅰ)质量指标的样本平均数:
x=80×
0.06+90×
0.26+100×
0.38+110×
0.22+120×
0.08=100,
质量指标的样本方差为:
S2=(﹣20)2×
0.06+(﹣10)2×
0.26+102×
0.22+202×
0.08=104,
∴估计这批产品质量指标值的样本平均x=100,样本方差s2=104.
(Ⅱ)(i)∵(x-S,x+S)=(89.8,110.2),(x-2S,x+2S)=(79.6,120.4),
(x-3S,x+3S)=(69.4,130.6),
由题意得5件产品中有一等品2件:
93,105,
有二等品2件:
85,112,有三等品1件:
76,
∴根据规则该箱产品的利润为:
2×
200+2×
100+1×
(﹣500)=100元.
(ii)根据提供的概率分布,该企业生产的产品中:
一等品大约为:
10000×
0.6826=6826件,
二等品大约为:
(0.9544﹣0.6826)=2718件,
三等品大约为:
(0.9974﹣0.9544)=430件,
不合格品大约为:
(1﹣0.9974)=26件,
估计年获利为:
6826×
200+2718×
100+430×
(﹣500)+26×
(﹣1000)=1396000(元).
20.(Ⅰ)方法一:
设椭圆C的焦距为2c,则c=1,
因为A(1,22)在椭圆C上,
所以2a=|AF1|+|AF2|=(1+1)2+(22)2+22=22,
因此a=2,b2=a2﹣c2=1,
故椭圆C的方程为x22+y2=1;
方法二:
所以c=1,a2﹣b2=c2,1a2+12b2=1,
解得a=2,b=c=1,
(Ⅱ)设直线l的方程为y=2x+
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