三角形五心的总结与归纳.docx
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三角形五心的总结与归纳.docx
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三角形五心的总结与归纳
三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.(注:
没有中心)
三角形内心
定义:
三角形内接圆的圆心叫做三角形的内心,三角形的内心也就是三角形三个内角的三条角平分线交点。
图形:
性质:
1、内心是三角形三个内角角平分线的交点;
2、内心到三角形三边的距离都相等,都等于内切圆半径r;
3、内心是内切园的园心。
做法:
1.做出△ABC的两个内角的平分线,交于一点,该点即为三角形内心。
三角形外心
定义:
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。
三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点。
图形:
性质:
1、外心是三角形三条边垂直平分线的交点;
2、外心到三角行三个顶点的距离相等,都等于外切圆半径R;
3、外心是外切圆的圆心。
作法:
分别作三角形两边的中垂线交点计作O
以O为圆心OA为半径画圆
圆O即为所求
其他:
(1)锐角三角形的外心在三角形内;
(2)直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合;
(3)钝角三角形的外心在三角形外.
(4)等边三角形外心与内心为同一点。
三角形的重心
性质:
三角形重心是三角形三边中线的交点。
当几何体为匀质物体时,重心与形心重合(顺口溜:
三条中线必相交,交点命名为“重心”
重心分割中线段,线段之比二比一;
图形:
性质:
1、三角形重心是三角形三边中线的交点
2、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:
1。
3、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
三角形的垂心
定义:
垂心:
三角形的三条高或其延长线相交于一点,这点称为三角形的垂心。
图形:
性质:
1、三角形的三条高或其延长线的交点;
2、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外.
三角形的旁心
定义:
三角形旁切圆的圆心,简称为三角形旁心,它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点;显然,任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。
性质:
性质1:
三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。
性质2:
旁心到三角形三边的距离相等。
性质3:
三角形有三个旁切圆,三个旁心。
旁心一定在三角形外。
性质4:
直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。
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- 三角形 总结 归纳
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