最优化单纯形法例题讲解Word下载.doc

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x5

x6

10

1

-2

8

4

[2]

-4

cj-zj

由于只有σ2>

0，说明表中基可行解不是最优解，所以确定x2为换入非基变量；

以x2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。

因此确定2为主元素（表1中以防括号[]括起），意味着将以非基变量x2去置换基变量x6，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x2的系数列（1,-1,2）T变换成x6的系数列（0,0,1）T，变换之后重新计算检验数。

变换结果见表2。

表2

3/2

-1/2

1/2

3

检验数σ3=3>

0，当前基可行解仍然不是最优解。

继续“换基”，确定2为主元素，即以非基变量x3置换基变量x5。

变换结果见表3。

表3

5

3/4

1/4

12

19

-9/4

-3/2

-7/4

此时，3个非基变量的检验数都小于0，σ1=-9/4，σ5=-3/2，σ5=-7/4，表明已求得最优解：

。

去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：

最小值为-19

例2用大法求解下列问题：

解引进松弛变量x4、、剩余变量x5和人工变量x6、x7，解下列问题：

用单纯形法计算如下：

表1

-3

M

x7

11

[1]

4M

1-3M

1-M

-3+6M

由于σ1<

σ2<

0，说明表中基可行解不是最优解，所以确定x1为换入非基变量；

以x1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。

因此确定1为主元素（表1中以防括号[]括起），意味着将以非基变量x1去置换基变量x7，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x1的系数列（1,2,1）T变换成x7的系数列（0,0,1）T，变换之后重新计算检验数。

表2

M+1

3M-1

由于σ2<

σ3<

0，说明表中当前基可行解仍不是最优解，所以确定x2为换入非基变量；

因此确定1为主元素，意味着将以非基变量x2去置换基变量x6，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x2的系数列（-2,1,0）T变换成x6的系数列（0,1,0）T，变换之后重新计算检验数。

表3

[3]

-5

M-1

由于只有σ3<

0，表中当前基可行解仍不是最优解，所以确定x3为换入非基变量；

又由于x3的系数列的正分量只有3，所以确定3为主元素，意味着将以非基变量x3去置换基变量x4，对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x3的系数列（3,0,-2）T变换成x4的系数列（1,0,0）T，变换之后重新计算检验数。

变换结果见表4。

表4

1/3

-2/3

2/3

-5/3

9

-4/3

4/3

-7/3

M-1/3

M-2/3

至此，无负的检验数且基变量中不含人工变量（即人工变量在基可行解中取0值），求得原问题的最优解：

，，，最小目标函数值为-2。

例3用两阶段法求解下列问题：

解将原问题化成标准形为：

第一阶段用单纯形法求解第一阶段的线性规划问题：

求解过程见表1。

因此，第一阶段求得最优解为，基变量为x1、x2和x5，不包含人工变量。

第二阶段以第一阶段的最终单纯形表为基础，除去人工变量x6、x7及其系数列，恢复目标价值向量为C=（2,-1,0,0,0）T，重新计算检验数，继续迭代，见表2。

[1/2]

5/2

6

因此，求得原问题的最优解为，最大目标函数值为6。

例4用K—T条件求下列问题

解该问题的Lagrange函数是

由于

故该问题的K—T条件是

作为K—T点，除满足上述条件，自然还应满足可行性条件

为使求解易于进行，从互补松紧条件入手讨论：

1°

设，，

由互补松紧条件知，由K—T条件知

再由可行性条件得到，但是显然不满足可行性，故此解舍弃。

2°

设

由互补松紧条件知，再加上可行性条件知，从而由互补松紧条件知，将已知值代入易得=1，，易知这时K—T条件和可行性条件满足，因而为K—T点。

易见为凸函数，且为线性函数，由定理3.1.12知为全局最优解。

（正定，半正定）

例5用0.618法求解问题的近似最优解，已知的单峰区间为，要求最后区间精度。

解，，；

，；

因为，所以向左搜索，则

，；

，；

，；

因为，所以向右搜索，则

，；

因为，所以向右搜索，则

因为，所以算法停止，得到

例6用FR共轭梯度法求解问题，要求选取初始点。

解，，，

，

令，则，于是；

则，，，，

则，，故为所求。

例7用外罚函数法求解：

解

即

于是

令

得：

最优值：

当时，，

例8用内罚函数法求解：

解定义障碍函数，

用解析法求，

令，

，

解得：

当时，，

故是原问题的最优解。

例9用内罚函数法求解：

解得：

当时，，故是原问题