无穷限广义积分的数值计算【信息科学与技术专业】【毕业设计+文献综述+开题报告】Word格式.docx
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2.1梯形法则 2
2.2复合梯形法则 2
2.3辛普森法则 3
2.4复合辛普森法则 3
2.5Gauss公式 4
3无穷积分的敛散性判别 5
4无穷限广义积分的数值计算方法 6
4.1变量替换 6
4.2无穷区间的截断 6
4.3无穷区间上的高斯求积公式 7
4.4极限过程 8
4.5无穷限广义积分的新方法 8
5Matlab实例 9
致谢 16
参考文献 17
1 绪论
1.1 问题的背景
在讨论积分时有两个最基本的限制:
积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”.
根据函数的变化率,利用定积分我们可以计算函数在指定区间上的增量,利用变限定积分可以把握函数变化区间上增量的变化,为了把握函数在无穷区间上增量的变化,我们还需要引进并讨论无穷限积分.[1]
比如现在人类要发射人造地球卫星或发射完成星际航行的飞行器,就要摆脱地球强大的引力,那如何离开地球呢?
地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星,需要的最小速度是第二宇宙速度.第二宇宙速度为11.2公里/秒,是第一宇宙速度的2倍.地面物体获得这样的速度即能沿一条抛物线轨道脱离地球.
我们可以运用无穷限广义积分解决第二宇宙速度问题.
在黎曼积分的定义中,被积函数和积分区间都是有界的.若被积函数或积分区间无界,则称为广义积分.对无界区间,如[a,¥
),如果对任何有限的b,f在区间[a,b]上可积,并且下列
极限存在且为有限数,则广义积分的定义为
38
¥
() = ò
a
ò
b
fxdx lim
a b®
f(x)dx.
对无界的积分区间,可以使用有限区间上的标准求积程序计算广义积分,具体方法如下:
一种方法就是采用专门计算无穷限广义积分的求积公式,比如说高斯-拉盖尔(Gauss-
laguerre)或者高斯-艾尔米特求积公式.
另外就是采用变量替换,无穷区间的截断,无穷区间上的高斯求积公式,极限过程等方法去解决无穷限广义积分的数值计算.
2 数值积分的一般方法
定积分的数值近似称为数值求积.[2]它起源于古代用铺贴小方块近似计算不规则图形或曲边形的面积.在近似积分中,主要从定义积分的黎曼和出发,用被积函数在积分区间上有限个点上值的加权和来近似计算积分.
许多定积分都无法用解析方法求出.对于那些并不知道函数f(x)的表达式只能通过实验得
到f(x)在一系列点上的值的积分问题也只能用数值方法.[3]
2.1梯形法则[4]
把以曲线f(x)为曲边的曲边梯形分解成小曲边梯形以后,估计小曲边梯形面积的一个方法
是用左矩形或右矩形面积代替小曲边梯形面积,但是这时误差会比较大.事实上,这种方法相当于用一系列的水平线逼近曲线f(x).我们可以把这些水平线看成是函数的零次插值多项式.
一个更好的方法就是用一条折线逼近曲线f(x),事实上,我们让小矩形的上边连续倾斜直
b b-a
到最好地拟合曲线,得到相应的求积公式是
f(x)dx»
é
ë
f(a)+f(b)ù
û
(2.1.1)
a 2
对所有fÎ
P1(即次数最多是1次的全体多项式)公式精确成立.此外,它的误差项是
-1(b-a)3f'
'
(x),12
1
其中xÎ
(a,b).通过多项式逼近中的误差f(x)-p(x)=f'
(xx)(x-a)(x-b)2积分,再利
用积分中值定理,可以确定梯形法则的误差项.
2.2复合梯形法则
如果划分区间[a,b]为:
a=x0<
x1<
×
×
<
xn=b,
那么在每个子区间上可应用梯形法则.这时结点未必是等距的.这样,我们得到复合梯形法
则
b n
x
f(x)dx-=å
xif(x)dx»
1å
n
(x-x
)é
f(x
)+f(x)ù
(2.1.2)
i=1
i-1
2i=1
i i-1ë
i-1 iû
对等间距h=(b-a)n及结点xi=a+ih,复合梯形法则具有形式
af(x)dx»
hå
f(a+ih),
i=0
(2.1.3)
其中求和符号上的两撇表示求和式中的第一项和最后一项都被减半.复合梯形法则的误差项是
-1(b-a)h2f'
(a,b).对于每个子区间上的误差项求和并利用以下事实:
在[a,b]内存在一点x使得
f'
(x)=(1n)å
f'
(xi),其中xiÎ
(xi-1,xi)以及1n=(b-a)h,即平均值,这样便得到总误
差项.
2.3辛普森法则[5]
对任意区间[a,b]的类似计算可得到熟悉的辛普森法则:
bf(x)dx»
b-aé
f(a)+4fæ
a+bö
+f(b)ù
.
a 6 ê
ç
2 ÷
ú
(2.1.4)
ë
è
ø
û
从它的推导过程可知,对于所有次数£
2的多项式辛普森法则是精确成立的.出乎意料的是,
对于所有次数£
3的多项式它也精确成立.
与辛普森法则联系在一起的误差项是:
-1é
(b-a)2ù
5f(4)(x),
90
(a,b).
2.4复合辛普森法则
在每个小区间[xk,xk+1
]上使用辛普森求积法则,再求和得到逼近
Sn
ò
af(x)dx的求积公式
=1 é
æ
ö
ù
ø
è
hê
f(xk)+4fç
x1÷
+f(xk+1)ú
,
(2.1.5)
6 ê
k+2 ú
其中x1
k+
2
=1x,x
(
2 k k+1
).公式(2.1.5)称为复合辛普森法则.
Sn的下标n表示把积分区间
[a,b]分为n等分.
设fÎ
C4[a,b],那么复合辛普森法则的误差为
En(f)=ò
f(x)dx-S
2.5Gauss公式[6]
设有计算
=-b-ah4f(4)(h),hÎ
[a,b].
2880
的求积公式
I(f)=ò
f(x)dx
(2.1.6)
In(f)=å
Akf(xk),
k=0
(2.1.7)
其中求积节点xk(k=0,1,Ln),求积系数Ak(k=0,1,Ln).
如果其代数精度为(2n+1),则称为求积公式为Gauss-Legendre公式(简称Gauss公式),
称相应的求积节点为Gauss点.
kk=0
由代数精度的定义知,式(2.1.6)为Gauss公式的充分必要条件是求积节点{x}n
和求积系
{A}
数 n
满足下列方程组:
å
ì
ï
Ak
k=0
=ò
a1dx
í
n
xkAk=
xA
=
kk
M
axdx
bx2dx .
x2n+1A=bx2n+1dx
k k
(2.1.8)
ï
î
k=0 ò
Gauss积分不但具有高精度,而且是稳定的,其原因是由于它的求积系数具有非负性.高斯求积公式,它不但具有最高的代数精度,而且收敛性和稳定性都有保证.因此是高精
度的求积公式.高斯公式的主要缺点是节点和系数无规律,所以不便编程实现,在实际应用中,可以把低阶高斯公式进行复化.[7]
3无穷积分的敛散性判别[8]
无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的一个先决条
+¥
u
件.由定义知道,无穷积分
a f(x)dx收敛与否,取决于函数F(u)=ò
f(x)dx在
u®
+¥
时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分的柯西准则.
无穷积分ò
a f(x)dx收敛的充要条件是:
任给e>
0,存在G³
a,只要u1、u2>
G,便
有
ò
u2f(x)dx-u1f(x)dx= u2f(x)dx
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