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1 LP问题及其数学模型
(一)引例1(生产计划的问题)
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ的两种产品,已知生产单位产品所需的设备台时,A、B两种原材料的消耗以及每件产品可获的利润如下表所示。
问应如何安排计划使该工厂获利最多?
Ⅰ
Ⅱ
资源限量
设备
1
2
8(台时)
原材料A
4
16(kg)
原材料B
12(kg)
单位产品利润(元)
3
该问题可用一句话来描述,即在有限资源的条件下,求使利润最大的生产计划方案。
解:
设x1,x2分别表示在计划期内生产产品Ⅰ、Ⅱ的产量。
由于资源的限制,所以有:
机器设备的限制条件:
x1+2x2≤8
原材料A的限制条件:
4x1≤16 (称为资源约束条件)原材料B的限制条件:
4x2≤12
同时,产品Ⅰ、Ⅱ的产量不能是负数,所以有
x1≥0,x2≥0 (称为变量的非负约束)
显然,在满足上述约束条件下的变量取值,均能构成可行方案,且有许许多多。
而工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下,如何确定产量x1,x2以得到最大的利润,即使目标函数
Z=2x1+3x2 的值达到最大。
综上所述,该生产计划安排问题可用以下数学模型表示:
maxz=2x1+3x2
ê
é
x1+2x2£
8
s.t.
ê
4x1
4x2
£
16
£
12
1 2
ë
x×
x ³
0
引例2.(营养配餐问题)
序号
食品名称
热量(卡路里)
蛋白质(克)
钙(mg)
价格(元)
猪肉
1000
50
400
10
鸡蛋
800
60
200
6
大米
900
20
300
白菜
500
假定一个成年人每天需要从食物中获取3000卡路里热量,55克蛋白质和800毫克钙。
如果市场上只有四种食品可供选择,它们每千克所含热量和营养成份以及市场价格如下表所示。
问如何选择才能满足营养的前提下使购买食品的费用最小?
解:
设xj(j=1,2,3,4)为第j种食品每天的购买量,则配餐问题数学模型为
minz=10x16x23x32x4
10000x1+800x2+900x3+200x4³
3000
x.tê
50x1
+60x2
+20x3
+10x4
³
55
400x1+200x2+300x3+500x4³
800
x
j
³
0(j=1,2,3,4)
(二)LP问题的模型
上述两例所提出的问题,可归结为在变量满足线性约束条件下,求使线性目标函数值最大或最小的问题。
它们具有共同的特征。
(1)每个问题都可用一组决策变量(x1,x2,…xn)表示某一方案,其具体的值就代表一个具体方案。
通常可根据决策变量所代表的事物特点,可对变量的取值加以约束,如非负约束。
(2)存在一组线性等式或不等式的约束条件。
(3)都有一个用决策变量的线性函数作为决策目标(即目标函数),按问题的不同,要求目标函数实现最大化或最小化。
满足以上三个条件的数学模型称为LP的数学模型,其一般形式为:
max(或min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn (1.1)
a
a11x2+a12x2+L+a1nxn£
(=,³
)b1
s.t
21x2
+a22x2
+L+a2nxn
LL
)b2
(1.2)
m1x2
+am2x2
+L+amnxn
)bm
(1.3)
x1×
x2Lxn³
n
或紧缩形式
max(或min)z=å
cjxj
j=1
å
n
j=1
ajxj
)bi(i=1,2,L,m)
(1.4)
xj³
或矩阵形式
max(或min)z=cx
AX£
)b
或向量形式:
X³
(1.5)
j=1
pjxj
(1.6)
Xj³
(j=1,2,L,n)
其中C=(c1,c2,…,cn),称为价值系数向量;
a11,a12,La1nù
A=ê
21,a22
,La2n
ú
ú
称为技术系数矩阵(并称消耗系数矩阵)
LL ú
m1
,am2
,La
mnû
=(p1,p2,…,pn)
b1ù
b
b=ê
2ú
称资源限制向量
Mú
ú
mû
X=(x1,x2,…,xn)T称为决策变量向量。
(三)LP问题的标准型
1.为了讨论LP问题解的概念和解的性质以及对LP问题解法方便,必须把LP问题的一般形式化为统一的标准型:
maxz=å
cjxj;
maxz=cx
=bi(i=1,2,L,m)
é
AX=b
或ê
xj
0(j=1,2,L,n)
ë
X³
pjxj=b
xj
标准型的特点:
①目标函数是最大化类型
②约束条件均由等式组成
③决策变量均为非负
④bi(i=1,2,…,n)
2.化一般形式为标准型
①minz®
max(-z)=-cx
②“£
”®
左边+松驰变量;
“³
左边-“松驰变量”
③变量xj£
0®
-xj³
0变量xj无限制®
令xj=xj¢
-xj²
④bi<
等式两边同乘以(-1)。
3.模型隐含的假设
①比例性假定:
决策变量变化的改变量与引起目标函数的改变量成比例;
决策变量变化的改变量与引起约束方程左端值的改变量成比例。
此假定意味着每种经营活动对目标函数的贡献是一个常数,对资源的消耗也是一个常数。
②可加性假定:
每个决策变量对目标函数和约束方程的影响是独立于其它变量的。
③连续性假定:
决策变量应取连续值。
④确定性假定:
所有的参数(aij,bi,cj)均为确定,所以LP问题是确定型问题,不含随机因素。
以上4个假定均由于线性函数所致。
在现实生活中,完全满足这4个假定的例子并不多见,因此在使用LP时必须注意问题在什么程度上满足这些假定。
若不满足的程度较大时,应考虑使用其它模型和方法。
如非线性规划,整数规划或不确定型分析方法。
对LP标准型,我们还假定r(A)=m<
n。
(四)LP问题的解的概念
设LP问题
(1.7)
ajxjj=1
=bi(i=1,2,L,n)
(1.8)
xj³
(1.9)
1.从代数的角度看:
可行解和最优解 满足约束条件(1.8)和(1.9)的解X=(x1,x2,…,xn)T称为
可行解。
所有可行解构成可行解集,即可行域S
={XA
=b,x³
0}。
而使目标函数达到最大值的可行解称为最优解,对应的目标函数值称为最优值。
求解LP问题就是求其最优解和最优值,但从代数的角度去求是困难的。
2.从LP角度看:
基:
设A为mxn矩阵,r(A)=m,B是A中的mxm阶非奇异子矩阵(即
|B|¹
0),则称B是LP问题的一个基。
若B是LP问题的一个基,则B由m个线性独立的列向量组成,即
B=(Pr1,Pr2,…,Prm),其中Prj=(a1rj,a2rj,…,amrj)T,(j=1,2,…,m)称为基向理。
与
其向量Prj相对应的变量xrj称为基变量,其它变量称为非基变量。
显然,对应于每个基总有m个基变量,n-m个非基变量。
基本解与基可行解 设B是LP问题的一个基,令其n-m个非基变量均为零,所得方程的解称为该LP问题的一个基本解。
显然,基B与基本解是一一对应的,基本解的个数≤Cmn。
在基本解中,称满足非负条件的基本解为基可行解,对应的基称为可行基。
退化解 如果基解中非零分量的个数小于m,则称此基本解为退化的,否则是非退化的。
最优基 如果对应于基B的基可行解是LP问题的最优解,则称B为
LP问题的最优基,相应的解又称基本最优解。
W
基本解
基可行解
可行解
3.LP问题解之间的关系如图所示
(五)两个变量LP问题的图解法
1.LP问题解的几何表示。
以引例为例说明maxz=2x1+3x2
8 ①
16 ②
12 ③
x1
0,x ³
0 ④
按以下顺序进行:
(1)画出直角坐标系;
(2)依次做每条约束线,标出可行域的方向,并找出它们共同的可行域;
(3)任取一目标函数值作一条目标函数线(称等值线),根据目标函数(最大或最小)类型,平移该直线即将离开可行域上,则与目标函
-9-
x2 ②
B
Q4
Q3
①
x1
数线接触的最终点即表示最优解。
图1
-48-
其中
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