计算机控制系统5教案Word文档格式.docx
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=eT(s+jw)
=esTejwT
z的模及相角分别为
(5.3)
z=esT,及Ð
z=j=wT
在实际计算机控制系统中采样频率ws远远大于系统中
被采信号的最高频率wmax,即ws>
>
2wmax(根据采样定理,
ws³
2wmax,wmax
£
ws/2),就是说,系统实际工作频率
w范围在主频区-ws
/2~+ws
/2以内。
因而,我们在研
究S平面和Z平面之间的关系时,主要讨论S平面主频区
与Z平面之间的关系即可。
因为w=2p,1w=p,所以,
s T 2 s T
S平面主频区对应的w范围是-p~+p。
T T
参看图5.1,图中S平面①~⑤主频区。
⑴ S平面虚轴上①~②段,
Z平面半径为1的上半圆。
j0£
jw£
jp/T,映射到
因为s=jw,则z=eTs=ejwT=1Ð
wT。
z的模z=1;
相角
j=wT=0~p。
⑵ S平面②~③段,s=s+jw
,s=0~-¥
,w=p/T。
因而,映射到Z平面上,z的模z
=e(0~-¥
)T
=1~0,z的相
角j=wT
=p。
该段对应于Z平面上的②~③段,实际上
它是与负实轴重合(沿着负实轴由-1变到0),但为了表示清楚,将②~③段同负实轴分开画出。
⑶ S平面③~④段,s=s+
jw,s=-¥
,
w=+p/T
~-p/T。
因而,映射到Z平面上,z的模
jw
jpS平面
T
s
-jp
⑤
④
①
-¥
②
③
Im
Z平面
1
-1 ③
④0
Re
图5.1S平面与Z平面之间的关系
z=e-¥
=0,z的相角j=wT
=p~-p。
③点、④点重合,
但相角改变了p。
⑷ S平面④~⑤段,s=s+jw,s=-¥
~0,w=-p/T。
因而,映射到Z平面上,z的模z=e(-¥
~0)T=0~1,z的相角
-5-
j=wT=-p。
该段对应于Z平面上的④~⑤段。
⑸ S平面⑤~①段,s 沿负虚轴变化,s=s+jw,s=0,w=-p/T~0。
因而,映射到Z平面上,z的模z=e0T=1,z的相角j=wT=-p~0。
对应于Z平面上的
⑤~①段,半径为1的下半圆。
⑹若s的实部s>
0,则z的模z=esT>
1。
以上的分析表明:
S平面左半面映射到Z平面单位圆内部;
S平面右半平面映射到Z平面单位圆外部;
S平面虚轴映射到Z平面单位圆上。
由此我们可以得出离散系统的稳定条件。
离散系统的稳定条件
如果离散系统脉冲传递函数的根,即特征方程的根都位于Z平面单位圆内部,则系统稳定;
如果有一个根位于单位圆外部,则系统不稳定;
如果有根位于单位圆上,则系统临界稳定。
图5.2中阴影部分即为两平面的稳定区。
S平面左半平面
o<
0
S平面
Im
w=-¥
~+¥
-1
Z平面单位圆内
z<
1
Ð
z=-¥
图5.2S平面与Z平面的稳定区
5.1.3计算机控制系统的稳定性
现在进一步论证关于离散系统中脉冲传递函数在Z平面中的稳定区问题。
设图5.3为某离散系统(或环节)的
R(z)
C(z)
G(z)
5.3离散控制系统
方框图,脉冲传递函数为
bzm+bzm-1+L+b
G(z)=0 1 m
zn+azn-1+L+a
1 n
(5.4)
式中m£
n,设m=n,式(5.4)的分母写成因式相乘的形式
-7-
G(z)=b
+b'
zn-1+b'
2
zn-2+L+b'
n
0 zn+azn-1+L+a
=b+
b'
(z-p1)(z-p2)L(z-pn)
设输入
(5.5)
r(k)为单位脉冲函数
d(k)=ì
1,
í
î
0,
k=0
,
k¹
Z[r(k)]=Z[d(k)]=1,
即R(z)=1,因此
C(z)=G(z)R(z)=G(z)
(5.6)
C(z)=b0+
d1
z-p1
+d2
z-p2
+L+
dn
z-pn
式中p1,p2,L,pn是脉冲传递函数的极点。
系统脉冲响应为
c(k)=Z-1[C(z)]=Z-1é
b+ d1
+L+
dn ù
(5.7
ê
0 z-p z-p z-pú
ë
1 2 nû
)
上式中第一项的Z反变换为b0d(k),
k=0。
其余各项为
(5.8)
di =
z-pi
dz-1
i
1-piz
i=1,2,L,n
式(5.8)的Z反变换为
-é
dz-1
ù
= ³
ú
ii
Z1 i
1-pz-1
dpk-1,k 1
(5.9)所以
ë
i û
ì
b0d(k),
c(k)=í
k=0
(5.10)
î
dipik-1,
k³
系统脉冲响应分析:
c(k)的第一项b0d(k)只是在
k=0时存在,b0是系统脉冲响应的初值。
极点
p1,p2,L,pn所对应脉冲响应为dipik-1,
di为常数,
i=1,2,L,n。
pi可能是实数(可能是正实数,也可能是
负实数);
也可能是复数。
1若p1,p2,L,pn为实数
随着k的变化,对于不同的pi,其脉冲响应也随之不同,
参看图5.4。
①pi>
1时,系统对应的输出分量是发散序列。
图5.4
中极点p1
>
1,其输出为pk-1,是发散序列;
-8-
②pi=1时,对应的输出分量是等幅不衰减序列,如图
5.4中p2=1点;
pk-1
6
p1
k-1
×
p×
p
×
5
4
p p
3
2 1
pk-1
图5.4离散系统实数极点相应的脉冲响应
③0<
pi<
1时,对应的输出分量pik-1是单调衰减序列,
如图5.4中pk-1;
i i
④-1<
p<
0时,对应的输出分量pk-1是交替变号的衰减序列,如图5.4pk-1;
⑤p=-1时,对应的输出分量pk-1是交替变号的等幅序列,如图5.4pk-1;
⑥p<
-1时,对应的输出分量pk-1是交替变号发散序列,如图5.4pk-1。
2若p1,p2,L,pn极点中含有共轭复数对
若p1,p2,L,pn极点中含有共轭复数对时,则复数对极点所对应的系统脉冲响应为振荡序列。
令共轭极点对为
-26-
pi1,2
=ai±
jbi,一般我们将共轭极点对所对应的部分分式
写成如下形式
C(z)=
ciz+di =
A + B
i (z-a)2+b2
z-a
-jb z-a+jb
(5.11)
i i i i
式中,Ci(z)的两个极点为
zi1
=ai+
jbi
=Rejqi,
zi2
=ai-
=Re-jqi
(5.12)
Ci(z)所对应的脉冲响应为下列组合
c(k)=A(Rejqi)k-1+B(Re-jqi)k-1
,k=1,2,L
i i i
上式中A,B的值可以由式(5.11)计算出。
而k的值由1开始算起,是由于式(5.11)的分式中,分母z的阶数比分子z的阶数大于1,k=0时,ci(0)=0。
经化简、合并计算,得出
c(k)=ì
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