计算机控制系统3教案Word下载.docx
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f(2T)d(t-2T)+L
(3.1)
因为d(t-kT)的拉氏变换为
L
(3.2)
[d(t
-kT)]=
e-kTs
所以式(3.1)的拉普拉斯变换式为
F*(s)=
f(0)+
f(T)e-Ts+
f(2T)e-2Ts+L
¥
=å
k=0
f(kT)e-kTs
(3.3)
从(3.3)式明显看出,F*(s)是s的超越函数,因此,用拉普拉斯变换这一数学工具,无法使问题简化,为此,引入另一复变量“z”,令
z=eTs
(3.4)
代入(3.3)式,得
F(z)=f(0)+f(T)z-1+
f(2T)z-2+L
(3.5)
=å
f(kT)z-k
(3.5)式是f*(t)的单边Z变换。
若(3.5)式中流动变量k从-∞→+∞,则称为双边Z变换。
由于控制系统中研究的信号都是从研究时刻t=0开始算起,所以使用的都是单边Z变换,这里简称为Z变换。
表示f*(t)的Z变换式符号有多种,如F(z)、
Z[f*(t)]、f*(s)s=(1/T)lnz、Z[f(t)]、Z[F(s)]、Z[F*(s)]
等等,但它
们都表示同一个概念,都是指对脉冲序列函数的Z变换。
(3.1)式、(3.3)式和(3.5)式在形式上完全相同,
都是多项式之和,对应的加权系数相等,在时域中的
d(t-T)、S域中的e-Ts以及Z域中的z-1均表示信号延迟一拍。
在实际应用中,所遇到的采样信号的Z变换幂级数在
收敛域内都对应有一个闭合形式,其表达式是一个“z”的有理式
K(zm+d zm-1+L+dz+d)
1
F(z)=m-1 1 0
(3.6)
zn+c
n-1
zn-1+L+cz+c
若用zn同除分子和分母,可得“z-1”的有理分式,即
K(z-n+m+L+d
z-n+1+d
z-n)
F(z)=1 0
(3.7)
1+c
z-1+L+c
z-n+1+c
z-n
在讨论系统动态特性时,Z变换式写成因子形式更为有用,式(3.7)可以改写成
F(z)=
(3.8)
KN(z)=
D(z)
K(z-z1)L(z-zm)
(z-p1)L(z-pn)
其中z1,L,zm;
p1,L,pn分别是F(z)的零点和极点。
3.1.2简单函数的Z变换
下面,我们将讨论几个简单函数的Z变换。
值得注意的是,我们假设函数在t=0时不连续,而t>
0时函数是连续的。
在此情况下,我们设定f(0)=f(0+),而不是间断点的平均值
[f(0-)+f(0+)]/2。
1.单位脉冲函数
表达式
求f(t)的Z变换。
ì
1
f(t)=d(t)=í
î
0
t=0
t¹
d ì
k=0
因为
根据Z变换定义
(kT)=í
k¹
F(z)=Z[d(t)]=å
d(kT)z-k=1
(3.9)
2.单位阶跃函数
ì
1(t)=1
t³
f(t)=í
t<
根据上面的假设,f(0)=1。
再由Z变换的定义可知
¥
F(z)=Z[1(t)]=å
1×
z-k
z-kk=0
=1+z-1+z-2+z-3+L
= 1
1-z-1
= z
z-1
(3.10)
注意到如果z>
1,则级数收敛。
在求Z变换时,变量Z是个假设算子,不必去确定使F(z)收敛时Z的范围,只要知道有这个范围存在就足够了。
用这种方法求时间函数f(t)的Z变换F(z),除了F(z)的极点外,在整个Z平面都是成立的。
注意:
1(k)=í
k=0,1,2,L
0 k<
(3.11)常叫做单位阶跃序列。
3.单位斜坡函数
t
则
f(kT)=kT
t<
k=0,1,2,L
因而它的Z变换可以求出
F(z)=Z[t]=å
f(kT)z-k=å
kTz-k=T(z-1+2z-2+3z-3+L)
=
z-1
k=0
Tz
T(1-z-1)2
=
(z-1)2
(3.12)
4.指数序列
ak
f(k)=í
k³
k<
式中a为常数。
根据Z变换定义,则有
F(z)=Z[ak]=å
akz-k
=1+az-1+a2z-2+a3z-3+L
(3.13)
= 1
1-az-1
z-a
5.指数函数
f(t)=í
e-at
因为 f(kT)=e-akT
则 F(z)=Z[e-at]=å
f(kT)z-kk=0
e-akTz-kk=0
=1+e-aTz-1+e-2aTz-2+e-3aTz-3+L
(3.14)
6.正弦函数
1-e-aTz-1
z-e-aT
sinwt
t³
表达式 î
注意指数函数的Z变换Z[e-at]=
下式
1
1-e-aTz-1
,而sinwt可以表示成
sinwt=
1(ejwt-e-jwt)2j
因而 F(z)=Z[sinwt]=1
=1é
1 - 1 ù
2j 2jê
ë
1-ejwTz-1
1-e-jwTz-1ú
û
=1 (ejwT
-e-jwT)z-1
2j1-(ejwT
+e-jwT)z-1+z-2
(3.15)
= z-1sinwT
1-2z-1coswT+z-2
= zsinwT
z2-2zcoswT+1
例3.1求余弦函数的Z变换
coswt,
0,
解:
我们可以按照求正弦函数Z变换的方法来求余弦函
数的Z变换。
F(z)=Z[coswt]=1Z[ejwt+e-jwt]
ç
2
1æ
1
1 ö
1æ
2-(ejwT
+e-jwT)z-1 ö
= ç
2è
1-e
jwT
z-1+
1-e
-jwT
-1÷
=
z ø
ç
1-(e
+e-jwT
)z-1
÷
-2
+z ø
= 1-z-1coswT
1-2z-1coswT+z-2
= z2-zcoswT
z2-2zcoswT+1
例3.2求阻尼正弦函数的Z变换
e-atsinwt,
0,
F(z)=Ž[e-atsinwt]
解 =Ž
1é
e-atejwt-e-ate-jwtù
û
2j
=1é
2jê
1-e-(a-jw)Tz-1 1-e-(a+jw)Tz-1û
ú
=1 e-aT(ejwT-e-jwT)z-1
2j1-e-aT(ejwT+e-jwT)z-1+e-2aTz-2
= z-1e-aTsinwT
1-2z-1e-aTcoswT+e-2aTz-2
= ze-aTsinwT
z2-2ze-aTcoswT+e-2aT
例3.3求
F(s)=
s(s+1)
的Z变换
解 当被求函数变量是以s给出时,求它的Z变换的一
种方法是:
先把F(s)利用拉普拉斯反变换求出f(t),然后将
f(t)离散化求出f*(t),再求其Z变换。
另一种方法是将
F(s)表示成部分分式,再利用Z变换表求其Z变换。
其它的
方法以后介绍。
现在我们利用第一种方法,先求F(s)的拉氏反变换
F(s)=
=1-
s
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