函数的基本知识与一次函数的初步认识教案.docx

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函数的基本知识与一次函数的初步认识教案

函数的基本知识与一次函数的初步认识

一次函数

一：

函数的定义

1、变量：

在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：

在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例题：

在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是________，常量是_______。

在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________。

2、函数：

一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，就说y是x的函数。

那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量。

要注意的是：

自变量x的取值往往有范围限制，这个范围我们叫自变量的定义域

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应。

例题：

下列函数y=πx、y=2x-1、y=、y=2-1-3x、y=x2-1，中，是函数的有（）

A、4个B、3个C、2个D、1个

例：

下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）

A、y=B、y=C、y=D、y=·

例：

函数中自变量x的取值范围是__________。

3.函数的三种表示方法

（1）解析法：

用函数表达式表示函数

，,，这几个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式叫作函数表达式，简称函数式，用函数表达式表示函数的方法叫解析法

此时，根据函数的定义可以得到：

若把自变量的值代入就可以得到相应的函数值

例:

求下列当时的值

（1）

（2）

（2）列表法：

有时候把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法是列表法课本p144表5-4

（3）我们还可以用图像来表示函数课本p144图5-3

课堂练习

1、下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　）

A、B、

C、D、

2、下列解析式中，y不是x的函数是（　　）

A、y+x=0B、|y|=2x

C、y=|2x|D、y=2x2+4

3.已知△ABC的底边BC上的高线长是6厘米。

当BC的长改变时，三角形的面积也将改变

（1）若△ABC的底边BC的长为（cm）,则△ABC的面积y（）可表示为

（2）当底边长从12cm变化到3cm时，三角形的面积从变化到

4.某市民用电费的价格是0.538元/千瓦时，设用电量为x千瓦时，应付电费为y元，则y关于x的函数式是，当x=40时，函数值是，它的实际意义是。

若某用户的用电量为65千瓦时，则该用户应付电费为

5、一个游泳池内有水300，现打开排水管以每时25的排出量排水。

（1）写出游泳池内剩余水量Q与排水时间h的函数关系式：

（2）写出自变量的取值范围；

（3）开始排水后5h末，游泳池中还有多少水？

（4）当游泳池中还剩150时，已经排水多少小时？

信件质量x（克）

0＜x≤20

0＜x≤40

0＜x≤60

邮资y（元）

0.80

1.60

2.40

6．在国内投寄平信应付邮资如下表：

（1）y是x的函数吗？

为什么？

（2）分别求当x=5，10，30，50时的函数值．

7、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是_______________。

8、平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________

二：

一次函数

1．概念：

若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.

（1）一次函数的自变量都是有取值范围的，若没说明则取一切实数。

在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.

（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.

★判断一个等式是否是一次函数先要化简

（3）当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数.（正比例函数）

（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.

例：

下列函数中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数，系数k和常数项b的值各是多少？

（1）

（2）（3）（4）

（5）

例：

下列函数中，一次函数是（　　）

A．y=8x+1B．y=8x2C．y=8x2+1

例：

下列函数中，是一次函数的是（　　）

A．y=x2+2

B．y＝

C．y=kx+b（k、b是常数）

D．

课堂练习：

1.如果是一次函数，则的值是（）

A、1B、－1C、±1D、±

2.函数y=2x+3，当x=1时，y的值是（）

A、1B、0C、－1D、－5

3.若是正比例函数，则b的值是__________

二：

求一次函数的表达式：

待定系数法

例：

已知y是x的一次函数，当x=3时，y=5,；当x=—1时，y=2.求这个一次函数的表达式

练习：

已知函数。

当x=—时，y=—1，求常数项b

已知y是x的一次函数，且当x=—4时，y=9；当x=6时，y=—1.求

（1）这个一次函数的表达式和自变量的取值范围

（2）当时，函数y的值

（3）当y=7时，自变量x的值

（4）当y<1时，自变量x的取值范围

某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所或利润y（元）是1吨水的买入价x（元）的一次函数，根据下列表提供的数据，求y关于x的函数表达式。

当水价为每吨10元时，1吨水生产的饮料所获得利润是多少？

1吨水的买入价x（元）

4

6

利润y（元）

200

198

已知y+m与x—n成正比例（其中m，n是常数）

（1）y是关于x的一次函数吗？

（2）如果y=—15时，x=—1；当x=7时，y=1.求y关于x的函数表达式

【一次函数图像】

一次函数y=kx＋b的图象的画法：

描两点：

（x1，y1）（x2，y2）连接成一条直线

在平面直角坐标系中，所有一次函数的图像都是一条直线；反过来，如果在平面直角坐标系中，有一条直线，则该直线的解析式可以写成一次函数

总结：

一次函数中，k，b影响图像的情况分类

b>0

b<0

b=0

k>0

经过第一、二、三象限

经过第一、三、四象限

经过第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

k<0

经过第一、二、四象限

经过第二、三、四象限

经过第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小

例：

已知一次函数的大致图像为（）

ABCD

变式：

已知函数的图象如图，则的图象可能是（）

变式：

函数y=（k-1）x+5，y随x增大而减小，则k的范围是（）

A、B、C、D、

例：

将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线。

变式：

已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（）

A、3m+1B、3mC、mD、3m－1

例：

若m＜0,n＞0,则一次函数y=mx+n的图象不经过（）

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

变式：

一次函数的图像一定经过第几象限

变式：

证明一次函数y=kx+2k+4的图像经过定点，并求出这个定点

【交点问题】

例：

求出直线的交点坐标

变式：

若直线和直线的交点坐标为（）,则____________。

变式：

已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点（-1，-5），且与正比例函数的图象相交于点

（2，a）.

求：

（1）求a的值；　　　　　

（2）求一次函数的解析式；

已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.

（1）求两直线交点C的坐标;

（2）求△ABC的面积.

C

已知直线是的图像，且与x轴，y轴分别交于点A,B，另一条直线经过其中一个交

点，且与坐标轴及直线围成的面积是直线与坐标轴所围成的面积的两倍，求直线的表达式

培优训练：

已知函数

（1）m为何值时，它是一次函数；

（2）m为何值时，y随x的增大而减小；

（3）m为何值时，与平行

（4）m为何值时，在y轴上的截距为—4

（5）m为何值时，在x轴上的截距为4

（6）m为何值时，函数图像过原点

（7）m为何值时，它是常值函数

（8）m为何值时，函数图像不经过第二象限

（9）m为何值时，函数图像不过第一象限

（10）若它为一次函数，则经过定点吗？

若经过，请写出这个定点

（11）该一次函数y随x的增大而增大，且图像交y轴于正半轴，则m的取值范围

一次函数的图像如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确

的个数是（　　）　

A.0B.1C.2D.3

已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，另一直线y=kx+b（k≠0），经过点C（1，0），且把△ABC

分成两部分，若△ABC被分成的两部分面积比为1：

2，求k和b的值．

一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（）

A．

B．

C．

D．

如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，

△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（　　）

A.10B.16C.18D.20

如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（—2,4）B（4,2）直线与线段AB有交点

则k的值不可能是（）

A.—5B.—2C.3D.5

如图，已知点A的坐标为（5,0）直线与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为

有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图①

，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合；　将直尺沿AB方向平移（如图

②），设平移的长度为xcm（　0≤x≤10　），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm2．

（1）当x=0时（如图①），S=；

（2）当0＜x≤4时（如图②），求S关于x的函数关系式；

（3）当4＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；

（4）直接写出S的最大值．