中考相似三角形专题解答题.docx
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中考相似三角形专题解答题
2020中考相似三角形专题----解答题
1.(10分)(2020•湖北)实践操作:
第一步:
如图1,将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠,使点A落在CD上的点A'处,得到折痕DE,然后把纸片展平.
第二步:
如图2,将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠,点C恰好落在AD上的点C′处,点B落在点B'处,得到折痕EF,B'C′交AB于点M,C′F交DE于点N,再把纸片展平.
问题解决:
(1)如图1,填空:
四边形AEA'D的形状是 ;
(2)如图2,线段MC′与ME是否相等?
若相等,请给出证明;若不等,请说明理由;
(3)如图2,若AC′=2cm,DC'=4cm,求DN:
EN的值.
2.(6分)(2020•湖北)在平行四边形ABCD中,E为AD的中点,请仅用无刻度的直尺完成下列画图,不写画法,保留画图痕迹.
(1)如图1,在BC上找出一点M,使点M是BC的中点;
(2)如图2,在BD上找出一点N,使点N是BD的一个三等分点.
3.(10分)(2020•安顺)如图,四边形ABCD是矩形,E是BC边上一点,点F在BC的延长线上,且CF=BE.
(1)求证:
四边形AEFD是平行四边形;
(2)连接ED,若∠AED=90°,AB=4,BE=2,求四边形AEFD的面积.
4.(10分)(2020•武汉)问题背景如图
(1),已知△ABC∽△ADE,求证:
△ABD∽△ACE;
尝试应用如图
(2),在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE相交于点F,点D在BC边上,=,求的值;
拓展创新如图(3),D是△ABC内一点,∠BAD=∠CBD=30°,∠BDC=90°,AB=4,AC=2,直接写出AD的长.
5.(13分)(2020•海南)四边形ABCD是边长为2的正方形,E是AB的中点,连结DE,点F是射线BC上一动点(不与点B重合),连结AF,交DE于点G.
(1)如图1,当点F是BC边的中点时,求证:
△ABF≌△DAE;
(2)如图2,当点F与点C重合时,求AG的长;
(3)在点F运动的过程中,当线段BF为何值时,AG=AE?
请说明理由.
6.(10分)(2020•枣庄)在△ABC中,∠ACB=90°,CD是中线,AC=BC,一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转,使角的两边分别与AC、BC的延长线相交,交点分别为点E、F,DF与AC交于点M,DE与BC交于点N.
(1)如图1,若CE=CF,求证:
DE=DF;
(2)如图2,在∠EDF绕点D旋转的过程中,试证明CD2=CE•CF恒成立;
7.(7分)(2020•济宁)如图,在△ABC中,AB=AC,点P在BC上.
(1)求作:
△PCD,使点D在AC上,且△PCD∽△ABP;(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)在
(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC.求证:
PD∥AB.
8.(12分)(2020•上海)已知:
如图,在菱形ABCD中,点E、F分别在边AB、AD上,BE=DF,CE的延长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.
(1)求证:
△BEC∽△BCH;
(2)如果BE2=AB•AE,求证:
AG=DF.
9.(10分)(2020•福建)如图,C为线段AB外一点.
(1)求作四边形ABCD,使得CD∥AB,且CD=2AB;(要求:
尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在
(1)的四边形ABCD中,AC,BD相交于点P,AB,CD的中点分别为M,N,求证:
M,P,N三点在同一条直线上.
10.(12分)(2020•泰安)小明将两个直角三角形纸片如图
(1)那样拼放在同一平面上,抽象出如图
(2)的平面图形,∠ACB与∠ECD恰好为对顶角,∠ABC=∠CDE=90°,连接BD,AB=BD,点F是线段CE上一点.
探究发现:
(1)当点F为线段CE的中点时,连接DF(如图
(2)),小明经过探究,得到结论:
BD⊥DF.你认为此结论是否成立?
.(填“是”或“否”)
拓展延伸:
(2)将
(1)中的条件与结论互换,即:
BD⊥DF,则点F为线段CE的中点.请判断此结论是否成立.若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
问题解决:
(3)若AB=6,CE=9,求AD的长.
11.(2020•菏泽)如图1,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,OB=OD+CD.
(1)过点A作AE∥DC交BD于点E,求证:
AE=BE;
(2)如图2,将△ABD沿AB翻折得到△ABD'.
①求证:
BD'∥CD;
②若AD'∥BC,求证:
CD2=2OD•BD.
12.(12分)(2020•福建)如图,△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到,且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上,AD,EC相交于点P.
(1)求∠BDE的度数;
(2)F是EC延长线上的点,且∠CDF=∠DAC.
①判断DF和PF的数量关系,并证明;
②求证:
=.
13.(14分)(2020•安徽)如图1,已知四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,AE=AD.EC与BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB.
(1)求证:
BD⊥EC;
(2)若AB=1,求AE的长;
(3)如图2,连接AG,求证:
EG-DG=AG.
14.(8分)(2020•杭州)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,DE∥AC,EF∥AB.
(1)求证:
△BDE∽△EFC.
(2)设,
①若BC=12,求线段BE的长;
②若△EFC的面积是20,求△ABC的面积.
15.(10分)(2020•杭州)如图,在正方形ABCD中,点E在BC边上,连接AE,∠DAE的平分线AG与CD边交于点G,与BC的延长线交于点F.设=λ(λ>0).
(1)若AB=2,λ=1,求线段CF的长.
(2)连接EG,若EG⊥AF,
①求证:
点G为CD边的中点.
②求λ的值.
16.(2020▪宁波)【基础巩固】
(1)如图1,在△ABC中,D为AB上一点,∠ACD=∠B.求证:
AC2=AD•AB.
【尝试应用】
(2)如图2,在▱ABCD中,E为BC上一点,F为CD延长线上一点,∠BFE=∠A.若BF=4,BE=3,求AD的长.
【拓展提高】
(3)如图3,在菱形ABCD中,E是AB上一点,F是△ABC内一点,EF∥AC,AC=2EF,∠EDF=∠BAD,AE=2,DF=5,求菱形ABCD的边长.
17.(2020▪金华)如图,在△ABC中,AB=4,∠B=450,∠C=600.
(1)求BC边上的高线长.
(2)点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连结EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
①如图2,当点P落在BC上时,求∠AEP的度数.
②如图3,连结AP,当PF⊥AC时,求AP的长
18.(2020▪遵义)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E为对角线AC上一动点(点E与点A,C不重合),连接DE,作EF⊥DE交射线BA于点F,过点E作MN∥BC分别交CD,AB于点M、N,作射线DF交射线CA于点G.
(1)求证:
EF=DE;
(2)当AF=2时,求GE的长.
【分析】
(1)要证明EF=DE,只要证明△DME≌△ENF即可,然后根据题目中的条件和正方形的性质,可以得到△DME≌△ENF的条件,从而可以证明结论成立;
(2)根据勾股定理和三角形相似,可以得到AG和CG、CE的长,然后即可得到GE的长.
19.(14分)(2020•营口)如图,在矩形ABCD中,AD=kAB(k>0),点E是线段CB延长线上的一个动点,连接AE,过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
(1)如图1,若k=1,则AF与AE之间的数量关系是 ;
(2)如图2,若k≠1,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明;(用含k的式子表示)
(3)若AD=2AB=4,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=1时,求EG的长.
参考答案
1、【解答】解:
(1)∵ABCD是矩形,
∴∠A=∠ADC=90°,
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠,使点A落在CD上的点A'处,得到折痕DE,
∴AD=AD′,AE=A′E,∠ADE=∠A′DE=45°,
∴∵AB∥CD,
∴∠AED=∠A′DE=∠ADE,
∴AD=AD′,
∴AD=AE=A′E=A′D,
∴四边形AEA′D是菱形,
∵∠A=90°,
∴四边形AEA′D是正方形.
故答案为:
正方形;
(2)MC′=ME.
证明:
如图1,连接C′E,由
(1)知,AD=AE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠EAC′=∠B=90°,
由折叠知,B′C′=BC,∠B=∠B′,
∴AE=B′C′,∠EAC′=∠B′,
又EC′=C′E,
∴Rt△EC′A≌Rt△CEB′(HL),
∴∠C′EA=∠EC′B′,
∴MC′=ME;
(3)∵Rt△EC′A≌Rt△CEB′,
∴AC′=B′E,
由折叠知,B′E=BD,
∴AC′=BE,
∵AC′=2cm,DC′=4cm,
∴AB=CD=2+4+2=8(cm),
设DF=xcm,则FC′=FC=(8﹣x)cm,
∵DC′2+DF2=FC′2,
∴42+x2=(8﹣x)2,
解得,x=3,
即DF=3cm,
如图2,延长BA、FC′交于点G,则∠AC′G=∠DC′F,
∴tan∠AC′G=tan∠DC′F=,
∴,
∴,
∵DF∥EG,
∴△DNF∽△ENG,
∴.
2、【分析】
(1)连接AC和BD,它们的交点为O,延长EO并延长交AD于M,则M点为所作;
(2)连接CE交BD于点N,则N点为所作.
【解答】解:
(1)如图1,M点就是所求作的点:
(2)如图2,点N就是所求作的点:
3、【解答】
(1)证明:
∵∠四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵BE=CF,
∴BE+EC=EC+EF,即BC=EF,
∴AD=EF,
∴四边形AEFD是平行四边形;
(2)解:
连接DE,如图,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,
在Rt△ABE中,AE==2,
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EAD,
∵∠B=∠AED=90°,
∴△ABE∽△DEA,
∴AE:
AD=BE:
AE,
∴AD==10,
∵AB=4,
∴四边形AEFD的面积=AB×AD=4×10=40.
4、【解答】问题背景
证明:
∵△ABC∽△ADE,
∴,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,,
∴△ABD∽△ACE;
尝试应用
解:
如图1,连接EC,
∵∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,
∴△ABC∽△ADE,
由
(1)知△ABD∽△ACE,
∴,∠ACE=∠ABD=∠ADE,
在Rt△ADE中,∠ADE=30°,
∴,
∴=3.
∵∠ADF=∠ECF,∠AFD=∠EFC,
∴△ADF∽△ECF,
∴=3.
拓展创新
解:
如图2,过点A作AB的垂线,过点D作AD的垂线,两垂线交于点M,连接BM,
∵∠BAD=30°,
∴∠DAM=60°,
∴∠AMD=30°,
∴∠AMD=∠DBC,
又∵∠ADM=∠BDC=90°,
∴△BDC∽△MDA,
∴,
又∠BDC=∠ADM,
∴∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM,
即∠BDM=∠CDA,
∴△BDM∽△CDA,
∴,
∵AC=2,
∴BM=2=6,
∴AM===2,
∴AD=.
5、【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠DAE=90°,AB=AD=B
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