分数阶傅里叶变换文档格式.doc
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n=length(t);
m=1;
fork=1:
n;
%tt=-36+k;
tt=-T+k*dt;
iftt>
=-m&
&
tt<
=m
x(k)=1;
else
x(k)=0;
end
end
%确定α的值
alpha=0.01;
p=2*alpha/pi
%调用计算函数
Fx=frft(x,p);
Fx=Fx'
;
Fr=real(Fx);
Fi=imag(Fx);
A=abs(Fx);
figure,
subplot(2,2,1);
plot(t,Fr,'
-'
t,Fi,'
:
'
);
title('
α=0.01时的实部和虚部π'
axis([-4,4,-1.5,2]);
subplot(2,2,2);
plot(t,A,'
α=0.01时的幅值'
axis([-4,4,0,2]);
分数阶傅里叶变换计算函数如下:
functionFaf=frft(f,a)
%ThefastFractionalFourierTransform
%input:
f=samplesofthesignal
%a=fractionalpower
%output:
Faf=fastFractionalFouriertransform
error(nargchk(2,2,nargin));
f=f(:
N=length(f);
shft=rem((0:
N-1)+fix(N/2),N)+1;
sN=sqrt(N);
a=mod(a,4);
%dospecialcases
if(a==0),Faf=f;
return;
end;
if(a==2),Faf=flipud(f);
if(a==1),Faf(shft,1)=fft(f(shft))/sN;
end
if(a==3),Faf(shft,1)=ifft(f(shft))*sN;
end
%reducetointerval0.5<
a<
1.5
if(a>
2.0),a=a-2;
f=flipud(f);
1.5),a=a-1;
f(shft,1)=fft(f(shft))/sN;
if(a<
0.5),a=a+1;
f(shft,1)=ifft(f(shft))*sN;
%thegeneralcasefor0.5<
alpha=a*pi/2;
tana2=tan(alpha/2);
sina=sin(alpha);
f=[zeros(N-1,1);
interp(f);
zeros(N-1,1)];
%chirppremultiplication
chrp=exp(-i*pi/N*tana2/4*(-2*N+2:
2*N-2)'
.^2);
f=chrp.*f;
%chirpconvolution
c=pi/N/sina/4;
Faf=fconv(exp(i*c*(-(4*N-4):
4*N-4)'
.^2),f);
Faf=Faf(4*N-3:
8*N-7)*sqrt(c/pi);
%chirppostmultiplication
Faf=chrp.*Faf;
%normalizingconstant
Faf=exp(-i*(1-a)*pi/4)*Faf(N:
2:
end-N+1);
functionxint=interp(x)
%sincinterpolation
N=length(x);
y=zeros(2*N-1,1);
y(1:
2*N-1)=x;
xint=fconv(y(1:
2*N-1),sinc([-(2*N-3):
(2*N-3)]'
/2));
xint=xint(2*N-2:
end-2*N+3);
functionz=fconv(x,y)
%convolutionbyfft
N=length([x(:
y(:
)])-1;
P=2^nextpow2(N);
z=ifft(fft(x,P).*fft(y,P));
z=z(1:
N);
从图中可见,当旋转角度时,分数阶Fourier变换将收敛为方波信号;
当时,收敛为函数。
对于线性调频chirp信号Xk=exp(-j0.01141t2),k=-32,-31……32,变换后的信号波形图如下
几点讨论
一,目前的分数阶傅里叶变换主要有三种快速算法:
1,B.Santhanamand和J.H.McClellan的论文《ThediscreterotationalFouriertransform》中,先计算离散FRFT的核矩阵,再利用FFT来计算离散FRFT。
2,本文中采用的在HaldunM.Ozaktas和OrhanArikan等人的论文《DigitalcomputationofthefractionalFouriertransform》所述的算法,是将FRFT分解为信号的卷积形式,从而利于FFT计算FRFT。
3,Soo-ChangPei和Min-HungYeh等人在《Twodimensionaldiscretefractional
Fouriertransform》和《Discretefrac-tionalfouriertransformbasedonorthogonalprojections》中,采用矩阵的特征值和特征向量来计算FRFT。
二,Ozaktas在《DigitalcomputationofthefractionalFouriertransform》所述的算法,其实不是“离散”分数阶傅里叶变换的算法,而是对连续分数阶傅里叶变换的数值计算。
在C.Candan和M.A.Kutay等人的论文《ThediscreteFractionalFourierTransform》中介绍了离散分数阶傅里叶变换的算法,并给出了计算仿真图形(Error!
Referencesourcenotfound.)二者吻合得很好。
图1C.Candan和M.A.Kutay等人离散分数阶傅里叶变换的算法与连续分数阶傅里叶变换的比较
三,在LuisB.Almeida的论文《TheFractionalFourierTransformandTimeFrequencyRepresentations》中给出了方波的分数阶傅立叶变换图形(图2)
图2Almeida的论文中给出的方波的分数阶傅立叶变换图形
该图形与讲义中的图形相符。
本文中的仿真结果大致与该图形也相符合,但是令人困惑的是无论用那种算法程序,怎样调整输入信号,在时,虚部都不为零,这与Almeida和讲义中的图形并不一致。
而在HaldunM.Ozaktas和OrhanArikan等人的论文《DigitalcomputationofthefractionalFouriertransform》中只给出了幅值的绝对值的图形,并没有给出实部与虚部的结果,因此尚需进一步讨论
图3本文中计算的时,实部与虚部分布
附:
HaldunM.Ozaktas和OrhanArikan等人的论文《DigitalcomputationofthefractionalFouriertransform》所述的算法程序
%FASTCOMPUTATIONOFTHEFRACTIONALFOURIERTRANSFORM
%byM.AlperKutay,September1996,Ankara
%Copyright1996M.AlperKutay
%Thiscodemaybeusedforscientificandeducationalpurposes
%providedcreditisgiventothepublicationsbelow:
%
%HaldunM.Ozaktas,OrhanArikan,M.AlperKutay,andGozdeBozdagi,
%DigitalcomputationofthefractionalFouriertransform,
%IEEETransactionsonSignalProcessing,44:
2141--2150,1996.
%HaldunM.Ozaktas,ZeevZalevsky,andM.AlperKutay,
%TheFractionalFourierTransformwithApplicationsinOpticsand
%SignalProcessing,Wiley,2000,chapter6,page298.
%Theseveralfunctionsgivenbelowshouldbeseparatelysaved
%underthesamedirectory.fracF(fc,a)isthefunctiontheuser
%shouldcall,wherefcisthesamplevectorofthefunctionwhose
%fractionalFouriertransformistobetaken,and`a'
isthe
%transformorder.Thefunctionreturnsthesamplesofthea'
th
%orderfractiona
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