数学论文泰勒公式Word格式文档下载.doc
- 文档编号:13084968
- 上传时间:2022-10-04
- 格式:DOC
- 页数:25
- 大小:1.35MB
数学论文泰勒公式Word格式文档下载.doc
《数学论文泰勒公式Word格式文档下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学论文泰勒公式Word格式文档下载.doc(25页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
指导教师:
刘保政
2012年5月20日
原创性声明
本人郑重声明:
所提交的学位论文是本人在导师指导下,独立进行研究取得的成果.除文中已经注明引用的内容外,论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。
本人承担本声明的相应责任。
学位论文作者签名:
日期
指导教师签名:
日期
目录
摘要...............................................................Ⅰ
Abstract...........................................................Ⅱ
1.引言.............................................................1
2.泰勒公式的形式.................................................1
2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式...................................1
2.2具有拉格朗日余项的泰勒公式....................................2
2.3带有积分型余项的泰勒公式......................................2
2.4带有柯西型余项的泰勒公式......................................2
3.泰勒公式的应用................................................2
3.1利用泰勒公式求不定式的极限....................................3
3.2利用泰勒公式估算误差..........................................5
3.3用泰勒公式判断级数的敛散性....................................9
3.3.1数项级数的敛散性判断.....................................9
3.3.2函数项级数的敛散性判断..................................10
3.4利用泰勒公式证明中值问题....................................12
3.5利用泰勒公式证明不等式和等式................................13
3.5.1利用泰勒公式证明积分不等式或积分等式.....................13
3.5.2利用泰勒公式证明导数不等式..............................15
3.5.3利用泰勒公式证明代数不等式...............................16
结束语............................................................19
参考文献..........................................................20致谢...............................................................21
摘要
泰勒公式是数学分析中重要的公式,它的基本思想是用多项式来逼近已知函数,而这个多项式的系数由给定函数的各阶导数确定.阐述了泰勒公式的定义及其各种形式,着重对泰勒公式在极限计算、误差估计、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这五个方面中的应用进行了研究论述.泰勒公式在多方面的应用可以提高我们对泰勒公式的认识,有利于把泰勒公式的研究推向更深处.
关键词:
泰勒公式;
不定式的极限;
误差估计;
级数的敛散性;
不等式证明
Abstract
Taylorformulaisaimportantformulainthemathematicalanalysis.Itsbasicideaisthattheknownfunctionwithapolynomialapproximationdeterminesthecoefficientsofthepolynomialbythefirstderivativeofthegivenfunction.ThedefinitionanditsvariousformsoftheTaylorformulaareelaborated.TheapplicationsofTaylorformulainfiveaspectsarestudiedanddiscussed,suchasthelimitcalculation,errorestimation,thejudgmentofconvergenceanddivergence,medianproblems,aswellasequalityandinequalityproof.TaylorformulainmanyapplicationscanimproveourunderstandingoftheTaylorformula,anditbenefittopushtheresearchofTaylorformulatodeeper.
Keywords:
Taylorformula;
theinfinitivelimits;
errorestimates;
convergenceanddivergenceoftheseries;
ProofofInequality
20
泰勒公式及其应用研究
1.引言
泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容,几个微分中值定理中一般的情形是泰勒公式,它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系,将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
我们可以使用泰勒公式,来很好地解决某些问题,如求某些极限,确定无穷小的阶,证明等式和不等式,判断收敛性,判断函数的凹凸性以及解决中值问题等.本文共分两部分,第一部分介绍了各种形式的泰勒公式.第二部分研究泰勒公式在各种问题中的具体应用,在该部分着重论述泰勒公式在求极限,误差估计,敛散性判断,中值问题以及等式与不等式的证明这五个方面的具体应用方法.
2.泰勒公式的形式
2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式
若函数在点的某邻域内存在直至n阶导数,则对此邻域内的点x有:
.
当x=0时的特殊形式:
称作带有佩亚诺余项的麦克劳林(Maclaurin)公式.
2.2具有拉格朗日余项的泰勒公式
若函数f在[a,b]上存在直至n阶的连续导函数,在(a,b)内存在(n+1)阶导函数,则对任意给定的x,在[a,b]中,至少在(a,b)中存在一点ξ,使得
当=0时,上式也称为带有拉格朗日余项的麦克劳林公式.
2.3带有积分型余项的泰勒公式
若函数f在点的某邻域内存在直至n+1阶导数,令x,则对该邻域内异于的任意点x,在和x之间至少存在一个t使得:
其中就是泰勒公式的积分型余项.
2.4带有柯西型余项的泰勒公式
若函数f在点的某邻域内存在直至n+1阶导数,令x,则对该邻域内异于的任意点x有:
,.当=0时,又有=.
3.泰勒公式的应用
3.1利用泰勒公式求不定式的极限
不定式是指呈等形式的极限,一般是用洛比达法则求解,当分子分母的阶数都是较高阶的无穷小的话,必须进行多次洛比达法则,或是分子分母都是带根号项的话,越微分会越复杂,此时若使用泰勒公式解决,会更简单、明了.
例1求极限
分析:
此式分子含有根号项,用洛比达法则也可以求解,不过比较繁琐。
若使用泰勒公式可以将问题大大简化.
解:
将、在x=0点的麦克劳林公式展开到项得:
,.
原式=
=
=.
用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代来计算极限的方法。
我们知道当时,等.这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展至一次项。
有些问题用泰勒公式方法和我们已熟知的等价无穷小方法相结合,问题又能进一步简化.
例2求极限()
()=,
又,将cos2x用泰勒公式展开:
cos2x=.
则==.
假如细心思考,这一题目的结果可以引起我们的兴趣.当时,,易知.两个互为等价无穷小的函数,它们倒数之差的极限为.为什么是?
是什么因素造成这一结果?
如果是(),情况会怎么样?
定理1当,时,有:
(1)当n=0时,=0;
(2)当n=1时,是关于x的一阶无穷小;
(3)当n=2时,;
(4)当n3时,是关于x的(n-2)阶无穷大.
证明:
(1)是显然成立的,(3)在上题已经证明了,这里只证明
(2)、(4).
先证明
(2):
当n=1时,
()==.
在这里,利用洛必达法则可以解出这个极限,但用泰勒公式则更方便.因为我们知道:
,
即()==.
在证明(4):
当n3时,
==
=
=(.
命题得证.
从以上定理可以看到,当时,互为等价无穷小的函数的倒数之差(或更一般的说法,这些函数的乘方之差)的趋向情况,无穷大或无穷小的阶数以及相关的极限的特点,由函数本身在x=0处的泰勒展开式决定.同时容易推得,在以上结论中“”的条件还可以推广为“”,这时相关特点将由函数本身在处的泰勒展开式决定.
综上所述,在求不定式极限时,要灵活运用等价无穷小与泰勒公式,并将函数展开至分子分母分别经过化简后系数不为零的阶即可.对于泰勒余项形式的选择,要根据具体题目而定,一般而言极限的计算题应该选择佩亚诺型余项.
3.2利用泰勒公式估算误差
在问题研究计算过程中,由于物理问题的数学模型化或者可能是由于计算工作者的疏忽,绝大多数的数值计算结果都会有误差,通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差,同时减少计算的复杂程度.泰勒公式在误差估计中的应用就显得十分突出.下面在具体例子中通过用泰勒公式和matlab方法进行比较,展示泰勒公式计算的方便与精确.
例1设有,将被积函数展开为泰勒级数,并取前六
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学论文 泰勒 公式