因式分解的9种方法Word格式文档下载.doc
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2.公式法
完全平方公式、平方差公式。
注意:
使用公式法前,部分题目先提取公因式。
例二:
分解因式
分析:
此题较为简单,可以看出4=22,适用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)2解:
原式=(x+2)(x-2)
3.十字相乘法
是做竞赛题的基本方法,做平时的题目掌握了这个也会很轻松。
它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果
例三:
把分解因式.
先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数):
2=1×
2=2×
1;
分解常数项:
3=1×
3=3×
1=(-3)×
(-1)=(-1)×
(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.
解原式=(x-3)(2x-1).
对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下:
a1c1
╳
a2c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
这种方法要多实验,多做,多练。
它可以包括前两者方法。
4.分组分解法
也是比较常规的方法。
一般是把式子里的各个部分分开分解,再合起来,需要可持续性!
例四:
可以看出,前面三项可以组成平方,结合后面的负平方,可以用平方差公式
原式=(x+2)^2-y^2=(x+2+y)(x+2-y)
分组分解法需要前面的方法作基础,可见前面方法的重要性。
5.换元法
整体代入,免去繁琐的麻烦,亦是建立的之前的基础上
例五:
考虑到x+y是以整体出现,展开是十分繁琐的,用a代替x+y
那么原式=a^2-2a+1=(a-1)^2,回代原式=(x+y-1)^2
6.主元法
这种方法要难一些,多练即可。
即把一个字母作为主要的未知数,另一个作为常数
例六:
因式分解
分析:
本题尚且属于简单例用,只是稍加难度,以y为主元会使原式极其烦琐,而以x为主元的话,原式的难度就大大降低了。
原式=...............................主元法
=(x^2y^2-2x^2y+x^2+8y)(x^2+2)---------------------【十字相乘法】
可见,十字相乘十分重要。
7.双十字相乘法
难度较之前的方法要提升许多。
是用来分解形如的二次六项式
在草稿纸上,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。
则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)
要诀:
把缺少的一项当作系数为0,0乘任何数得0,
例七:
ab++a-b-2分解因式
解:
原式=0×
1×
a^2+ab+b^2+a-b-2
=(0×
a+b+1)(a+b-2)
=(b+1)(a+b-2)
8.待定系数法
将式子看成方程,将方程的解代入,这时就要用到“1”中提到的知识点了
当一个方程有一个解x=a时,该式分解后必有一个(x-a)因式
例八:
该题可以用十字相乘来做,这里介绍一种待定系数法
我们可以把它当方程做,x^2+x-2=0
一眼看出,该方程有一根为x=1,那么必有一因式为(x-1)
结合多项式展开原理,另一因式的常数必为2(因为乘-1要为-2)
一次项系数必为1(因为与1相乘要为1),所以另一因式为(x+2),分解为(x-1)(x+2)
9.列竖式
让人拍案叫绝的方法。
原理和小学的除法差不多。
要建立在待定系数法的方程法上,不足的项要用0补
除的时候,一定要让第一项抵消
例九:
提示:
x=-1可以使该式=0,有因式(x+1)
那么该式分解为(x+1)(3x^2+2x-2)
因式分解有9种方法,这么多?
其实是不止的,还有很多很多。
不过了解这些,初中的因式分解是不会有问题了。
考虑到每种方法只有一个例题,下面提供一些题目,供大家练习。
xy+6-2x-3y
(x+2)(x-3)+(x+2)(x+4)
-29x+15x(y+2)-x-y-1
+8mn++4n-15+2x-8
+3x-10.+x-6+5x-3
+4x-2-2x-35ax+5bx+3ay+3by
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