初一数学绝对值典型例题精讲Word文档格式.doc
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|b|;
||=(b≠0);
(7)|a|=|a|=a;
(8)|a+b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b|||a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥|a-b|
[例1]
(1)绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个?
(2)若ab<
|ab|,则下列结论正确的是()
A.a<0,b<0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.ab<0
(3)下列各组判断中,正确的是()
A.若|a|=b,则一定有a=bB.若|a|>|b|,则一定有a>b
C.若|a|>b,则一定有|a|>|b|D.若|a|=b,则一定有a=(-b)
(4)设a,b是有理数,则|a+b|+9有最小值还是最大值?
其值是多少?
分析:
(1)结合数轴画图分析。
绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±
3,±
4,有4个
(2)答案C不完善,选择D.在此注意复习巩固知识点3。
(3)选择D。
(4)根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0,则|a+b|≥9,有最小值9
[巩固]绝对值小于3.1的整数有哪些?
它们的和为多少?
<
分析>
:
绝对值小于3.1的整数有0,±
1,±
2,±
3,和为0。
[巩固]有理数a与b满足|a|>
|b|,则下面哪个答案正确()
A.a>bB.a=bC.a<
bD.无法确定
选择D。
[巩固]若|x-3|=3-x,则x的取值范围是____________
若|x-3|=3-x,则x-3≤0,即x≤3。
对知识点3的复习巩固
[巩固]若a>b,且|a|<
|b|,则下面判断正确的是()
A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0
选择C
[巩固]设a,b是有理数,则-8-|a-b|是有最大值还是最小值?
|a-b|≥0,-8-|a-b|≤-8,所以有最大值-8
[例2]
(1)(竞赛题)若3|x-2|+|y+3|=0,则的值是多少?
(2)若|x+3|+(y-1)=0,求的值
(1)|x-2|=0,|y+3|=0,x=2,y=-3,=
(2)由|x+3|+(y-1)=0,可得x=-3,y=1。
==-1
n为偶数时,原式=1;
n为奇数时,原式=-1
小知识点汇总:
(本源|a|≥0b≥0)
若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0;
若|x-a|+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0;
若|x-a|+|x-b|=0,则x-a=0且x-b=0;
当然各项前面存在正系数时仍然成立,非负项增加到多项时,每一项均为0,两个非负数互为相反数时,两者均为0
简单的绝对值方程
【例3】
(1)已知x是有理数,且|x|=|-4|,那么x=____
(2)已知x是有理数,且-|x|=-|2|,那么x=____
(3)已知x是有理数,且-|-x|=-|2|,那么x=____
(4)如果x,y表示有理数,且x,y满足条件|x|=5,|y|=2,|x-y|=y-x,那么x+y的值是多少?
(1)4,-4
(2)2,-2,(3)2,-2
(4)x=±
5,y=±
2,且|x-y|=y-x,x-y≤0;
当x=5,y=2时不满足题意;
当x=5,y=-2时不满足题意;
当x=-5,y=2时满足题意;
x+y=-3;
当x=-5,y=-2时满足题意,x+y=-7。
【巩固】巩固|x|=4,|y|=6,求代数式|x+y|的值
因为|x|=4,所以x=±
4,因为|y|=6,所以y=±
6
当x=4,y=6时,|x+y|=|10|=10;
当x=4,y=-6时,|x+y|=|-2|=2;
当x=-4,y=6时,|x+y|=|2|=2;
当x=-4,y=-6时,|x+y|=|10|=10
【例4】
解方程:
(1)
(2)|4x+8|=12
(3)|3x+2|=-1
(4)已知|x-1|=2,|y|=3,且x与y互为相反数,求的值
(1)原方程可变形为:
|x+5|=,所以有x+5=±
,进而可得:
x=-,-;
(2)4x+8=±
12,x=1,x=-5
(3)此方程无解
(4)|x-1|=2,x-1=±
2,x=3,x=-1,|y|=3,y=±
3,且x与y互为相反数,所以x=3,y=-3,
【例5】若已知a与b互为相反数,且|a-b|=4,求的值
a与b互为相反数,那么a+b=0。
=
当a-b=4时,且a+b=0,那么a=2,b=-2,-ab=4;
当a-b=-4时,且a+b=0,那么a=-2,b=2,-ab=4;
综上可得=4
化简绝对式
【例6】
(1)已知a=-,b=-,求的值
(2)若|a|=b,求|a+b|的值
(3)化简:
|a-b|
(1)原式=
(2)|a|=b,我们可以知道b≥0,当a<
0时,a=-b,|a+b|=0;
当a≥0时,a=b,|a+b|=2b
(3)分类讨论。
当a-b>0时,即a>b,|a-b|=a-b;
当a-b=0时,即a=b,|a-b|=0;
当a-b<0时,即a<b,|a-b|=b-a。
【巩固】化简:
(1)|3.14-π|
(2)|8-x|(x≥8)
分析:
(1)3.14<
π,3.14-π<0,|3.14-π|=π-3.14
(2)x≥8,8-x≤0,|8-x|=x-8。
【例7】有理数a,b,c在数轴上对应点如图所示,化简|b+a|+|a+c|+|c-b|
C
B
A
|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-(a+c)-(c-b)=2b-2c
【巩固】已知a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|
a
c
b
|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a
【巩固】数a,b在数轴上对应的点如图所示,是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||
|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=-(a+b)+(b-a)+b-(-2a)=b
【例8】
(1)若a<
-b且,化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|
(2)若-2≤a≤0,化简|a+2|+|a-2|
(3)已知x<
0<
z,xy>
0,|y|>
|z|>
|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值
-b且,a<
0,b<
0,a+b<
0,ab>
|a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a
(2)因为-2≤a≤0,所以a+2≥0,a-2≤0,|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4
(3)由x<
0可得:
y<
z,又|y|>
|x|,可得:
x<
z;
原式=x+z-y-z-x+y=0
【巩固】如果0<
m<
10并且m≤x≤10,化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|
|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x
【例9】
(1)已知x<
-3,化简|3+|2-|1+x|||
(2)若a<
0,试化简
(1)当x<
-3时,|3+|2-|1+x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3-3-x|=|-x|=-x
(2)===-
【例10】若abc≠0,则的所有可能值
从整体考虑:
(1)a,b,c全正,则=3;
(2)a,b,c两正一负,则=1;
(3)a,b,c一正两负,则=-1;
(4)a,b,c全负,则=-3
【巩固】有理数a,b,c,d,满足,求的值
有知abcd<
0,所以a,b,c,d里含有1个负数或3个负数:
(1)若含有1个负数,则=2;
(2)若含有3个负数,则=-2
【例11】化简|x+5|+|2x-3|
先找零点。
x+5=0,x=-5;
2x-3=0,x=,零点可以将数轴分成几段。
当x≥,x+5>0,2x-3≥0,|x+5|+|2x-3|=3x+2;
当-5≤x<,x+5≥0,2x-3<0,|x+5|+|2x-3|=8-x;
当x<
-5,x+5<
0,2x-3,|x+5|+|2x-3|=-3x-2
【巩固】化简:
|2x-1|
2x-1=0,x=,依次零点可以将数轴分成几段
(1)x<
2x-1<
0,|2x-1|=﹣(2x-1)=1﹣2x;
(2)x=,2x-1=0,|2x-1|=0
(3)x>
,2x-1>
0,|2x-1|=2x-1。
也可将
(2)与
(1)合并写出结果
【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值
先找零点,m=0,m-1=0,m-2=0,解得m=0,1,2
依这三个零点将数轴分为四段:
m<0,0≤m<1,1≤m<2,m≥2。
当m<
0时,原式=﹣m﹣(m-1)-(m-2)=-3m+3
当0≤m<1时,原式=m-(m-1)-(m-2)=-m+3
当1≤m<2时,原式=m+(m-1)-(m-2)=m+1
当m≥2时,原式m+(m-1)+(m-2)=3m-3
绝对值几何意义的应用
|a|的几何意义:
在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离
|a-b|的几何意义:
在数轴上,表示数a,b对应数轴上两点间的距离
【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值
由上题可知,本题中的式子值应为x所对应的点分别到3,5,2,-1,-7所对应的点距离和。
通过数轴可以看到,当x=2时,五段距离的和有最小值16。
这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解:
【小学奥数相关题目】如图,在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼,现
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