届高考数学二轮复习直线与圆学案文全国通用.docx
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届高考数学二轮复习直线与圆学案文全国通用
第1讲 直线与圆
高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点;2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题,多为选择题、填空题.
真题感悟
1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
A.-
B.-
C.
D.2
解析 圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4).
由题意得d=
=1,解得a=-
.
答案 A
2.(2016·山东卷)已知圆M:
x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2
,则圆M与圆N:
(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切B.相交
C.外切D.相离
解析 圆M:
x2+y2-2ay=0(a>0)可化为x2+(y-a)2=a2,
由题意,d=
,所以有a2=
+2,解得a=2.
所以圆M:
x2+(y-2)2=22,圆心距为
,半径和为3,半径差为1,所以两圆相交.
答案 B
3.(2016·全国Ⅰ卷)设直线y=x+2a与圆C:
x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2
,则圆C的面积为________.
解析 圆C的标准方程为x2+(y-a)2=a2+2,圆心为C(0,a),点C到直线y=x+2a的距离为d=
=
.又由|AB|=2
,得
+
=a2+2,解得a2=2,所以圆C的面积为π(a2+2)=4π.
答案 4π
4.(2017·天津卷)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为________.
解析 由题意知该圆的半径为1,设圆心C(-1,a)(a>0),则A(0,a).
又F(1,0),所以
=(-1,0),
=(1,-a).
由题意知
与
的夹角为120°,得cos120°=
=-
,解得a=
.
所以圆的方程为(x+1)2+(y-
)2=1.
答案 (x+1)2+(y-
)2=1
考点整合
1.两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.
2.两个距离公式
(1)两平行直线l1:
Ax+By+C1=0与l2:
Ax+By+C2=0间的距离d=
.
(2)点(x0,y0)到直线l:
Ax+By+C=0的距离d=
.
3.圆的方程
(1)圆的标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b),半径为r.
(2)圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心为
,半径为r=
.
4.直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法:
把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较:
d
(2)代数法:
将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系:
Δ>0⇔相交;Δ=0⇔相切;Δ<0⇔相离.
热点一 直线的方程
【例1】
(1)设a∈R,则“a=-2”是直线l1:
ax+2y-1=0与直线l2:
x+(a+1)y+4=0平行的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
(2)(2017·山东省实验中学二模)过点P(2,3)的直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则S△OAB的最小值为________.
解析
(1)当a=-2时,l1:
-2x+2y-1=0,l2:
x-y+4=0,显然l1∥l2.
当l1∥l2时,由a(a+1)=2且a+1≠-8得a=1或a=-2,
所以a=-2是l1∥l2的充分不必要条件.
(2)依题意,设直线l的方程为
+
=1(a>0,b>0).
∵点P(2,3)在直线l上.
∴
+
=1,则ab=3a+2b≥2
,
故ab≥24,当且仅当3a=2b(即a=4,b=6)时取等号.
因此S△AOB=
ab≥12,即S△AOB的最小值为12.
答案
(1)A
(2)12
探究提高 1.求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.
2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解,同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.
【训练1】
(1)(2017·贵阳质检)已知直线l1:
mx+y+1=0,l2:
(m-3)x+2y-1=0,则“m=1”是“l1⊥l2”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(2)已知l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,则直线l1的方程是________.
解析
(1)“l1⊥l2”的充要条件是“m(m-3)+1×2=0⇔m=1或m=2”,因此“m=1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.
(2)当直线AB与l1,l2垂直时,l1,l2间的距离最大.
∵A(1,1),B(0,-1),∴kAB=
=2.
∴两平行直线的斜率k=-
.
∴直线l1的方程是y-1=-
(x-1),即x+2y-3=0.
答案
(1)A
(2)x+2y-3=0
热点二 圆的方程
【例2-1】
(1)(2016·天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,
)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为
,则圆C的方程为________.
(2)(2015·全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆
+
=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.
解析
(1)∵圆C的圆心在x的正半轴上,设C(a,0),且a>0.
则圆心C到直线2x-y=0的距离d=
=
,解得a=2.
∴圆C的半径r=|CM|=
=3,因此圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
(2)由题意知,椭圆顶点的坐标为(0,2),(0,-2),(-4,0),(4,0).由圆心在x轴的正半轴上知圆过顶点(0,2),(0,-2),(4,0).
设圆的标准方程为(x-m)2+y2=r2,
则有
解得
所以圆的标准方程为
+y2=
.
答案
(1)(x-2)2+y2=9
(2)
+y2=
探究提高 1.直接法求圆的方程,根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
2.待定系数法求圆的方程:
(1)若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;
(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
温馨提醒 解答圆的方程问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
【训练2】
(1)(2017·河南部分重点中学联考)圆心在直线x=2上的圆与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则该圆的标准方程为________________.
(2)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得的弦的长为2
,则圆C的标准方程为________.
解析
(1)易知圆心的纵坐标为
=-3,所以圆心坐标为(2,-3).
则半径r=
=
,
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5.
(2)设圆心
(a>0),半径为a.
由勾股定理得(
)2+
=a2,解得a=2.
所以圆心为(2,1),半径为2,
所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
答案
(1)(x-2)2+(y+3)2=5
(2)(x-2)2+(y-1)2=4.
热点三 直线与圆的位置关系
命题角度1 圆的切线问题
【例3-1】 (2017·郑州调研)在平面直角坐标系xOy中,以点A(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.
解析 直线mx-y-2m-1=0恒过定点P(2,-1),当AP与直线mx-y-2m-1=0垂直,即点P(2,-1)为切点时,圆的半径最大,
∴半径最大的圆的半径r=
=
.
故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
答案 (x-1)2+y2=2
命题角度2 圆的弦长相关计算
【例3-2】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?
说明理由;
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
(1)解 不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:
设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足方程x2+mx-2=0,
所以x1x2=-2.
又C的坐标为(0,1),
故AC的斜率与BC的斜率之积为
·
=-
,
所以不能出现AC⊥BC的情况.
(2)证明 BC的中点坐标为
,可得BC的中垂线方程为y-
=x2
.
由
(1)可得x1+x2=-m,
所以AB的中垂线方程为x=-
.
联立
又x
+mx2-2=0,③
由①②③解得x=-
,y=-
.
所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为
,半径r=
.
故圆在y轴上截得的弦长为2
=3,
即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法,将代数问题几何化,利用数形结合思想解题.
2.与弦长有关的问题常用几何法,即利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,及半弦长
,构成直角三角形的三边,利用其关系来处理.
【训练3】
(1)(2017·泉州质检)过点P(-3,1),Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2+y2=1相切,则a的值为______.
(2)(2016·全国Ⅲ卷)已知直线l:
x-
y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=________.
解析
(1)点P(-3,1)关于x轴的对称点为P′(-3,-1),
所以直线P′Q的方程为x-(a+3)y-a=0.
依题意,直线P′Q与圆x2+y2=1相切.
∴
=1,解得a=-
.
(2)由圆x2+y2=12知圆心O(0,0),半径r=2
,
∴圆心(0,0)到直线x-
y+6=0的距离d=
=3,|AB|=2
=2
.过C作CE⊥BD于E.
如图所示,则|CE|=|AB|=2
.
∵直线l的方程为x-
y+6=0,
∴直线l的倾斜角∠BPD=30°,从而∠BDP=60°,因此|CD|=
=
=4.
答案
(1)-
(2)4
1.解决直线方程问题应注意:
(1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.
(2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.
(3)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.
2.求圆的方程两种主要方法:
(1)直接法:
利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,数形结合直接求出圆心坐标、半径,进而求出圆的方程.
(2)待定系数法:
先设出圆的
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