二阶变系数线性微分方程的一些解法 (1)Word格式.doc
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再作变量替换,令=z得
y1+(2+p(x)y1)z=0
分离变量dz=-[+p(x)]dx
两边积分,得其通解
z=e-∫p(x)dx其中C2为任意常数
积分得u=C2∫e-∫p(x)dxdx+C1代回原变量得(9.1)的通解
y=y1[C1+C2∫e-∫p(x)dxdx]
此式称为二阶线性方程的刘维尔(Liouville)公式。
综上所述,对于二阶线性齐次方程,若已知其一个非零特解,作二次变换,即作变换y=y1∫zdx可将其降为一阶线性齐次方程,从而求得通解。
对于二阶线性非齐次方程,若已知其对应的齐次方程的一个特解,用同样的变换,因为这种变换并不影响方程的右端,所以也能使非齐次方程降低一阶。
例1.已知y1=是方程++y=0的一个解,试求方程的通解
解作变换y=y1∫zdx
则有=y1z+∫zdx
=y1+2z+∫zdx
代入原方程,并注意到y1是原方程的解,有
y1+(2+)z=0
即=-2ctanx·
z
积分得z=
于是y=y1∫zdx=[∫dx+C2]
=(-C1ctanx+C2)
=(C2sinx-C1cosx)
这就是原方程的通解。
9.2常数变易法
在第三节求一阶线性非齐方程通解时,我们曾对其对应的齐次方程的通解,利用常数变易法求得非齐次方程的通解。
对于二阶线性非齐次方程
+p(x)+p(x)y=f(x)(9.4)
其中p(x),q(x),f(x)在某区间上连续,如果其对应的齐次方程
+p(x)+q(x)y=0
的通解y=C1y1+C2y2已经求得。
那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解。
设非齐次方程(9.4)具有形式
=u1y1+u2y2(9.5)
的特解,其中u1=u1(x),u2=u(x)是两个待定函数,对求导数得
=u1y′1+u2y′2+y1u′1+y2u′2
由于用(9.5)代入(9.4),可确定u1,u2的一个方程,为了同时确定这两个函数,还须添加一个条件,为计算方便,我们补充一个条件:
y1u′1+y2u′2=0
这样=u1y′1+u2y′2
=u′1y″1+u′2y″2+u1y′1+u2y′2
代入方程(9.3),并注意到y1,y2是齐次方程的解,整理得
u′1y′1+u′2y′2=f(x)
与补充条件联列得方程组
因为y1,y2线性无关,即
≠常数,所以()′=≠0
设w(x)=y1y′2-y2y′1,则有w(x)≠0所以上述方程组有唯一解。
解得
积分并取其一个原函数得
u1=-∫dx
u2=∫dx
则所求特解为=y1∫dx+y2∫dx
所求方程的通解y=Y+=C1y1+C2y2+y1∫dx+y2∫dx
上述求特解的方法也适用于常系数非齐次方程情形。
例1.求方程-=x的通解
解先求对应的齐次方程
-=0
的通解,由=
·
d()=dx
得ln||=ln|x|+ln|C|
即=Cx得通解y=C1x2+C2
所以对应齐次方程的两个线性无关的特解是x2和1。
为求非齐次方程的一个解将C1,C2换成待定函数u1,u2,且u1,u2满足下列方程
解上述方程得u′1=u′2=-x2
积分并取其一原函数得u1=x,u2=-
于是原方程的一个特解为
=u1·
x2+u2·
1=-=
从而原方程的通解为
y=C1x2+C2+
第十节数学建模
(二)——微分方程在几何、物理中的应用举例
一、镭的衰变
例1.镭、铀等放射性元素因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量,称为放射性物的衰变。
由实验得知,衰变速度与现存物质的质量成正比,求放射性元素在时刻t的质量。
解用x表示该放射性物质在时刻t的现存物质,则表示x在时刻t的衰变速度,于是“衰变速度与现存质量成正比”可表示为
=-kx
这是一个以x为未知函数的一阶方程,它就是放射性元素衰变的数学模型。
其中k>0是比例常数,称为衰变常数,因元素的不同而异。
方程右端的负号表示当时间t增加时,质量x减少,即t>0时,<0。
解这个方程得通解
x=Ce-kt
若已知当t=t0时,x=x0,即x|=x0
代入方程可得C=x0e
得特解x=x0e
它反映了某种放射性元素衰变的规律。
二、正交轨线
已知曲线族方程F(x,y,C)=0,其中包含了一个参数C,当C固定时就得到一条曲线,当C改变就得整族曲线,称为单参数曲线族。
例如y=Cx2为一抛物线族。
图6-3
如果存在另一族曲线G(x,y,C)=0,其每一条曲线都与曲线族F(x,y,C)=0的每条曲线垂直相交,即不同族中的曲线在交点处的切线互相垂直。
则称G(x,y,C)=0为F(x,y,C)=0的正交轨线。
将曲线族方程F(x,y,C)=0对x求导与F(x,y,C)=0联列并消去常数C,得曲线族上任一点的坐标(x,y)和曲线在该点的斜率y′所满足的微分方程
f(x,y,y′)=0
这就是曲线族F(x,y,C)=0所满足的微分方程。
因为正交轨线过点(x,y),且在该点与曲线族中过该点的曲线垂直,故正交轨线在点(x,y)处的斜率
k=-
于是可知曲线族F(x,y,C)=0的正交轨线满足方程
f(x,y,-)=0
这是正交轨线的数学模型,其积分曲线族(通解),就是所要求的正交轨线。
例2求抛物线族y=Cx2的正交轨线。
解对y=Cx2关于x求导,得y′=2Cx与原方程联列消去C
图6-4
得微分方程y′=
将-代入y′得所求抛物线的正交轨线微分方程
-=
即ydy=-dx
积分得+=C2
即抛物线族y=Cx2的正交轨线是一个椭圆族,如图6-4。
三、追迹问题
例3.开始时,甲、乙水平距离为1单位,乙从A点沿垂直于OA的直线以等速v0向正比行走;
甲从乙的左侧O点出发,始终对准乙以nv0(n>1)的速度追赶,求追迹曲线方程,并问乙行多远时,被甲追到。
图6-5
解如图6-5建立坐标系,设所求追迹曲线方程为
y=y(x)
经过时刻t,甲在追迹曲线上的点为p(x,y),乙在点B(1,v0t)。
于是有
tanθ=y′=(10.1)
由题设,曲线的弧长OP为
∫x0dx=nv0t
解出v0t代入(10.1)得
(1-x)y′+y=∫x0dx
两边对x求导,整理得
(1-x)y″=
这就是追迹问题的数学模型。
这是一个不显含y的可降阶的方程,设y′=p,y″=p′代入方程得
(1-x)p′=
或=
两边积分得ln(p+)=-ln|1-x|+ln|C1|
即p+=
将初始条件y′|x=0=p|x=0=0代入上式,得C1=1,于是
y′+=(10.2)
两边同乘y′-,并化简得
y′-=-(10.3)
(10.2)与(10.3)两式相加,得
y′=(-)
积分,得y=[-(1-x)+(1-x)]+C2
代入初始条件y|x=0=0得C2=,所求追迹曲线方程为
y=[-]+(n>1)
甲追到乙时,即曲线上点P的横坐标x=1,此时
y=
即乙行走至离A点个单位距离时即被甲追到。
四、弹簧振动
下面我们讨论机械振动的简单模型——弹簧振动问题,研究
图6-6
悬挂重物的弹簧的振动,并假定弹簧的质量与重物的质量相比较可以忽略不计。
如图6-6,一弹簧上端固定,下端与一质量为m的物体连接,弹簧对物体的作用力(恢复力)与弹簧的伸长度成正比(比例常数为k);
物体在运过程中所受的阻力与速度成正比(比例常数为λ)。
此外,物体还与一个连杆连接,连杆对物体的作用力(强迫力)为F(t)。
下面建立物体运动方程(数学模型)。
如图6-6,物体的平衡位置为原点,向下方向为Ox轴的正向,以x=x(t)表示物体在时刻t的位置,因为物体共受到三个力的作用。
(1)恢复力:
一kx(负号表示恢复力与位移x方向相反);
(2)阻力:
-λ(负号表示阻力与速度的方向相反);
(3)强迫力:
F(t)
由牛顿第二定律F=ma
得m=F(t)-kx-λ
或++x=
这就是物体运动的数学模型——振动方程。
为方便起见,记=2β(β>0),=ω2
(ω>0),=f(t),则上述方程可写成
+2β+ω2x=f(t)(10.4)
1.自由振动,当f(t)≡0时称为自由振动。
分两种情况讨论
(1)当β=0时称为无阻尼自由振动,其运动方程为
+ω2x=0
图6-7
其通解x=C1cosβt+C2sinβt
=Asin(ωt+φ)
(其中A=,tanφ=)
这是简谐振动,如图6-7,这里振幅A及初相角φ,可由物体的初始位置和初始速度决定。
(2)当β≠0时称为有阻尼自由振动,其运动方程为
+2β+ω2x=0
其特征方程为r2+2βr+ω2=0
下面就其根的三种情形分别讨论:
(ⅰ)β>ω(大阻尼情形),其根为r=-β±
特征方程有两个不相等的实根,由于它们都是负数,可令r1=-η1,r2=-η2,(η1>0,η2>0)所以方程的通解为
x=C1e+C2e
图6-8图6-9
这里的位移x不是周期函数,因而物体不作任何振动,当t→+∞时x→0,即随时间的无限增加而趋于平衡位置,如图6-8(当C1+C2>0,η1C1+η2C2<0的情形)
(ⅱ)β=ω(临界阻尼情形),特征方程
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