捕鱼问题数学建模论文Word文档格式.doc
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问题4:
如何捕捞并将鲜活草鱼投放市场,效益最佳?
二、模型假设
1.假设不考虑草鱼的出生率与死亡率;
2.假设草鱼体重不变;
3.假设草鱼的损失率是自捕捞后到死亡的数量;
4.假设成本不会出现意外的变故;
5.假设市场价格在一定的时间段内维持题目已知的规律;
三、符号说明
日供应量
z
销售收益
水位高度
捕捞成本
天数
每日捕捞量
0-1变量,=1表示第i天的价格在第j种情况
日利润
总利润
四、问题分析
针对第一问,随着供应量的变化,草鱼的单价在不断的变化,而销售收益为单价与供应量的乘积,即销售收益与供应量的函数关系为分段函数,求得函数之后再用MATLAB制图.
针对第二问,由于水的深度降低时,捕捞成本越来越低,并且降低的速度越来越快,所以设其为二次函数,将水深与时间的一次函数带入即可得到章鱼的捕捞成本随时间的函数关系,求得函数之后再用MATLAB制图.
针对第三问,水深降低时,捕鱼的损失率也呈加速增加,所以并不能单纯地考虑用一次函数,应设其为反函数,将水深与时间的一次函数带入即可得到章鱼的损失率随时间的函数关系,求得函数之后再用MATLAB制图.
针对第四问,要求最佳的效益,就必须求得每天的捕鱼量、损失率、捕捞成本,建立相应的目标函数、约束条件,最后用LINGO求解.
五、模型的建立与求解
5.1草鱼的销售收益与供应量的关系:
销售收益即为供应量与单价的积,题中已知鱼的供应量在400kg以下,价格为20元/kg,日供应量在400—1200公斤,超过部分价格降至18元/公斤,日供应量超过1200公斤时,超过部分价格降至15元/公斤以下,日供应量到1800公斤处于饱和。
据此可得出草鱼的销售收益随供应量量变化的分段函数关系.
1)日供应量,销售收益;
2)日供应量,销售收益;
3)日供应量,销售收益;
4)日供应量,销售收益为31400;
即可列此分段函数:
用Matlab对上述函数作图如下:
草鱼的销售收益随供应量变化的函数关系
图一
5.2草鱼的捕捞成本与时间的关系:
建立草鱼的捕捞成本随时间变化的函数关系需要先确定水位随时间的变化关系然后确定水位与捕捞成本之间的函数关系.水位是一个中间变化量通过水位可以将捕捞成本与时间的函数关系表达出来.
因为水库现有水位为10m,自然放水每天水位降低0.4m,水位最低为2m.所以水位与时间的函数关系为:
捕捞成本与水位的实际情况应该是随着水位的降低,最初几天水位降低引起捕捞成本快速减少,时间越接近20时水位的降低引起的捕捞成本则是缓慢减少,所以我们可以以将捕捞成本与水位的函数关系近似的认为是一个二次函数,函数关系为:
因为这个函数关系必须通过(10,5)和(2,1)两个点,将这两个点带入C函数得到:
即
作图如下:
捕捞成本与水深的关系图
图二
将带入上式得到捕捞成本随时间变化的函数关系:
使用Matlab软件对上述函数作图如下:
捕捞成本与时间的关系图
图三
5.3草鱼的损失率与时间的关系:
由实践经验总结,水位匀速下降时,捕鱼的损失率加速增大,并且其损失率会加速增大,即水位和损失率的关系跟反函数图像最接近,最后就采用以水位为自变量,损失率为因变量建立模型.然后再联系水位与时间的关系,最终可以得出草鱼的损失率与时间变化的函数关系.
其基本模型为:
将最低水位2米时损失率为20%代入基本模型,即可以求出,所以损失率与水位的关系:
作图如下:
水深与损失率的关系图
图四
再联系水位与时间的关系将其带入损失率与水位的关系式中,即得出损失率与时间的关系:
使用Matlab软件对上述函数作图如下:
损失率与时间的关系图
图五
5.4最佳效益的捕捞方案:
该问属于优化问题即求得总的最优利益,将总的最优利益分为每一天的最优利益,每21天的最优利益之和就是总的最有利益.一天的最优利益为:
在一定的损失率的情况下最大的销售收益减去最小的成本就是最优的利益.设0-1变量为第i天的供应量为第j种情况,所以第i天的利益为:
可根据第二文中的成本与时间的函数关系得出;
根据第三问中的损失率与时间的函数关系得出;
的结果在附录中给出.
所以目标函数为:
约束条件为:
1)每天的供应量只能为三种情况中的一种即:
2)20天的捕捞量之和不大于20000即:
;
3)每天的捕捞量大于0即:
通过Lingo求解(具体过程在附录中),可得如下结果:
总收益为:
321093.4元.每天的结果如下表:
天数
1
2
3
4
5
6
7
成本
4.75
4.44
4.14
3.85
3.58
3.32
捕捞量(公斤)
416.654
417.3847
418.1052
419.0675
420.1086
1263.102
1266.637
损失率
0.0417
0.0435
0.0455
0.0476
0.0500
0.0526
利益(元)
5884.530
6017.018
6143.34
6266.442
6384.587
17881.31
18199.12
8
9
10
11
12
13
14
3.07
2.84
2.62
2.41
2.22
2.04
1.87
1270.658
1274.886
1285.781
2101.712
1300.046
1309.074
1319.872
0.0556
0.0588
0.0625
0.0667
0.0714
0.0769
0.0833
18499.22
18782.15
19035.79
26334.87
19519.27
19734.23
19929.95
15
16
17
18
19
20
21
1.72
1.58
1.45
1.34
1.24
1.15
1333.196
1350.068
1371.362
1400.124
1439.906
500
223.9683
0.0909
0.1000
0.1111
0.1250
0.1429
0.1667
0.2000
20109.08
20272.48
20410.48
20529.15
20617
7425
3118.377
表一
六、模型的评价与改进
本文运用MATLAB制图,明了、形象,有利于问题的后期探讨.最后一问为目标规划模型,运用LINGO求解,准确、易解,并比较合理地求出了每天的捕捞量及最佳利润.但由于题目所给的数据不够,不能做到100%精确.对于模型的改进,应该增加数据量以便提高模型的精确度,应考虑到鱼的自然死亡和生长.
参考文献
[1]崔国华.2000.计算方法.武汉:
华中理工大学出版社.
[2]卓金武,魏永生,秦建,李必文.Matlab在数学建模中的应用[M].北京:
北京航空航天大学出版社,2011.
[3]胡运权,郭耀煌.运筹学教程.清华大学出版社,2010.
[4]韩中庚.《数学建模方法及其应用》.高等教育出版社.2009.
[5]刘卫国.2005.MATLAB程序设计教程.北京:
中国水利水电出版社.
附录
附录一:
使用Matlab软件,运行程序:
>
x1=[1:
100:
400];
y1=20*x1;
x2=[401:
1200];
y2=8000+18*(x2-400);
x3=[1201:
1800];
y3=22400+15*(x3-1200);
x4=[1801:
1000:
20000];
y4=31400;
plot(x1,y1,'
-k.'
x2,y2,'
-b'
x3,y3,'
-r^'
x4,y4,'
-g.'
);
xlabel('
捕捞量单位:
kg'
ylabel('
收益单位:
元'
legend('
捕捞量小于400kg'
'
捕捞量大于400kg,小于1200kg'
捕捞量1200kg,1800kg'
捕捞量大于1800小于20000'
NorthEastOutside'
)
title('
草
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