偏微分方程数值习题解答Word格式.doc
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由0)0(=,得,对于任何nRx,有0),(0=xbAx,由线性代数结论知,bAxbAx=00,0充分性:
由bAx=0,对于任何nRx,0|),(),()0(00=+=xAxxbAx即0x是)(xJ的驻点.1-2补充:
证明)(xf的不同的广义导数几乎处处相等.证明:
设)(2ILf,)(,221ILgg为)(xf的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意)()(0ICx,有=babadxxxfdxxxg)()()()(1=babadxxxfdxxxg)()()()(2两式相减,得到)(0)()(021ICxggba=由变分基本引理,21gg几乎处处为零,即21,gg几乎处处相等.补充:
证明),(vua的连续性条件(1.2.21)证明:
设|)(|,|)(|MxqMxp,由Schwarz不等式|.|.|)(|),(|vuMvuMdxquvvpuvuaba+=11*|.|2vuM,其中,max*MMM=习题:
1设)(xf为)(xf的一阶广义导数,试用类似的方法定义)(xf的k阶导数,.2,1(=k)解:
一阶广义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:
对于)()(2ILxf,若有)()(2ILxg,使得对于任意的)(0IC,有=bakkbadxxxfdxxxg)()()1()()()(则称)(xf有k阶广义导数,)(xg称为)(xf的k阶广义导数,并记kkdxfdxg=)(注:
高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.2.利用)(2IL的完全性证明)()(1IHIHm是Hilbert空间.证明:
只证)(1IH的完全性.设nf为)(1IH的基本列,即0|001+=mnmnmnffffff因此知,nnff都是)(2IL中的基本列(按)(2IL的范数).由)(2IL的完全性,存在)(,2ILgf,使0|,0|00gfffnn,以下证明0|1ffn(关键证明dxdfg=)由Schwarz不等式,有00|.|)()()(|ffxxfxfnban00|)()()(|ffdxxxgxfnban对于任意的)()(0ICx,成立=babanndxxxfdxxxf)()()()(lim=babanndxxxgdxxxf)()()()(lim由=banbandxxxfdxxxf)()()()(取极限得到dxxxfdxxxgbaba=)()()()(即)(fxg=,即)(1IHf,且0|001+=ffffffnnn故)(1IH中的基本列是收敛的,)(1IH是完全的.3.证明非齐次两点边值问题证明:
边界条件齐次化令)()(0axxu+=,则0uuw=满足齐次边界条件.w满足的方程为00LufLuLuLw=,即w对应的边值问题为=0)(,0)(0bwawLufLw(P)由定理知,问题P与下列变分问题等价求)(min)(,*12*1wJwJHCwEHwE=其中),(),(21)(0*wLufwwawJ=.而CuuauLuuJuuLufuuuuawJ+=),(),()(),(),(21)(000000*而200)()(),(),(CbubpuuauLu+=从而*)()()()(CbubpuJwJ+=则关于w的变分问题P等价于:
求=)(,12*auHCu使得)(min)()(*1uJuJauHu=其中)()(),(),(21)(bubpufuuauJ=4就边值问题(1.2.28)建立虚功原理解:
令)(0axu+=,0uuw=,则w满足0)(,0)(00=bwawLufLuLuLw等价于:
1EHv0),(),(0=vLufvLw应用分部积分,+=bababadxdxdvdxdwpvdxdwpvdxdxdupdxdvdxdwpdxd|)(),(还原u,)()(),(),(),(),(),(),(),(),(000bvbpvfvuavuavLuvfvuavLufvwa=+=于是,边值问题等价于:
求=)(,1auHu,使得1EHv,成立0)()(),(),(=bvbpvfvua注:
形式上与用v去乘方程两端,应用分部积分得到的相同.5试建立与边值问题等价的变分问题.解:
取解函数空间为)(20IH,对于任意)(20IHv用v乘方程两端,应用分部积分,得到0),(),(44=+=vfudxudvfLu而=bababadxdxdvdxudvdxudvdxdxudvdxud.|),(33334444dxdxvddxuddxdxvddxuddxdvdxudbababa=+=2222222222|上式为),(2222vfdxuvdxvddxudba=+定义dxuvdxvddxudvuaba),(2222+=,为双线性形式.变分问题为:
求)(20IHu,)(20IHv),(),(vfvua=1-41.用GalerkinRitz方法求边值问题=+1)1(,0)0(102uuxxuu的第n次近似)(xun,基函数nixixi,.,2,1),sin()(=解:
(1)边界条件齐次化:
令xu=0,0uuw=,则w满足齐次边界条件,且0)1(,0)0(20=wwxxLuLuLw第n次近似nw取为=niiincw1,其中),.2,1(nici=满足的GalerkinRitz方程为njxxcajniiji,.,2,1),(),(21=又xdjxixijdxxjxidxxjxiijdxajijiji=+=+=)cos()cos
(2)sin()sin()cos()cos()(),(1010210+jxixsinsin21由三角函数的正交性,得到=+=jijiiaji,0,212),(22而1)1()
(2)sin()1(),(3102=jjjdxxjxxxx于是得到+=为偶数为奇数jjjjaxxcjjjj0)1()(8),(),(2232最后得到+=+=211233)12
(1)12()12sin(8)(nknkkxkxxu2.在题1中,用0)1(=u代替右边值条件,)(xun是用GalerkinRitz方法求解相应问题的第n次近似,证明)(xun按)1,0(2L收敛到)(xu,并估计误差.证明:
nu对应的级数绝对收敛,由sinxi的完全性知极限就是解)(xu,其误差估计为338nRn3.就边值问题(1.2.28)和基函数),.,2,1()()(niaxxii=,写出GalerkinRitz方程解:
边界条件齐次化,取)(0axu+=,0uuw=,w对应的微分方程为0)(,0)(00=bwawLufLuLuLw对应的变分方程为0),(),(0=vLufvwa)()(000axqdxdpqudxdupdxdLu+=+=+=babadxxpvbvbpvdxdp)()()(变分方程为dxvquxpvbvbpvfvwaba+=)()()(),(),(0取niaxxii,.,2,1,)()(=,则Galerkin-Ritz方程为+=baibaiinjjjidxaxxqdxaxixpbbpfca)()()()()()(),(),(11+=bajijijidxqpa),(取1,0,1=fqp,具体计算1=n,)
(1),(11abdxaba=221)(21)()()(21ababababd=+=,)(211abc=,即解)(2101axuu+=2=n:
22111)()
(2),(),(),(abdxaxaababa=3222)(34)(4),(abdxaxaba=3223222)(31)()()(31)
(2)()(ababababdxaxabdxaxdbaba=+=+=得到方程组为=3221322)(31)(21c)(34)()(ababcabababab特别取1,0=ba,有=31213411121cc求解得到1,21,6131122=ccc其解为202)(21)(axaxuu+=Ch2椭圆与抛物型方程有限元法1.1用线性元求下列边值问题的数值解:
10,2sin242=+xxyy0)1(,0)0(=yy此题改为4/1,0)1()0(,1=+hyyyy解:
取2/1=h,)2,1,0(=jjhxj,21,yy为未知数.Galerkin形式的变分方程为),(),(vfvLu=,其中+=102104),(uvdxvdxuvLu,=10)(2sin2),(dxxxvvf又dxvudxvuvuvdxu=+=10101010|因此dxuvvuvua)4(),(102+=在单元,1iiixxI=中,应用仿射变换(局部坐标)hxxi1=节点基函数为)3,2,1(,0,1)(111=+iotherxxxhxxxxxhxxxiiiiiii+=+=1022210222222111)1(41414),(1021dhdhhdxaxxxx取2/1=h,则计算得124),(211+=a122)1(41),(210221+=+=dhha+=10101)1)(2121(2sin)0(2sin2),(ddhhf+=1010)1(4)1(sin2sinddhdhf+=102)2121(2sin2),(代数方程组为=),(),(),(),(),(),(212122212111ffyyaaaa代如求值.取4/1=h,未知节点值为4321,uuuu,方程为4,3,2,1),(),(41=jfuajiiji应用局部坐标表示,+=10221022)1(41)41(),(dhhdhhajj2488821022+=+=ddhhajj)1(41),(1021+=+964)1(1642102+=+=d964),(21+=jja系数矩阵为964,248,964222+=diagA取1=f,41)1(),(1010=+=dhdhfj+=+10110)1)(2sin2)(2sin2),(dhxhdhxhfjjj+=1010)1)(441(2sin21)44(2sin42djdj+=+=100110|)8)1(cos(8218)1(sin218)1(sin8)(sin21jdjdjj+2.就非齐次第三边值条件2211)()(,)()(=+=+bubuauau导出有限元方程.解:
设方程为fqupuLu=+=)(则由),()()()()()()(),(|),)(1122vpuauavapbubvbpvpuvpuvpuba=变分形式为:
),(1baHv)()()()(),()()()()()()(),(),(1212avapbvbpvfavauapbvbubpvquvpu+=+)(),(0buuauuN=记)()()()(),()()()()()()()(),(),(),(1212avapbvbpvfvFavauapbvbubpvquvpuvuA+=+=则上述变分形式可表示为)(),(vFvuA=设节点基函数为),.,2,1,0)(Njxj=则有限元方程为),.,1,0()(),(0NjFuAjNiiji=具体计算使用标准坐标.
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- 微分方程 数值 习题 解答
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