北京林业大学线性代数期末试题04-10Word文件下载.doc
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(2)、过渡矩因为
所以为正交矩阵
(3)、因为在基下的坐标是,所以下的坐标是
七、(12分)设实对称矩阵,问是否能与对角阵相似?
若能与对角阵相似,求对角阵及可逆阵,使得,并求(为正整数).
的特征值为。
对应的特征向量为
因为有四个线性无关的特征向量,所以可以对角化。
令,则=,
八、(10分)用非退化线性变换将二次型化为标准型.
,,∴.
有基础解系,,正交化、单位化得,;
有基础解系,取。
令,X=TY,则.
九、(6分)设实对称矩阵和是相似矩阵,证明:
存在正交矩阵,使得.
证:
设为的特征值,因为,所以和有相同的特征值,因此的特征值也是,又因为为实对称矩阵,故存在正交矩阵,使得
令,则为正交矩阵,且。
附:
各章试题分值所占比例
Ch1Ch2Ch3Ch4Ch5Ch6
16分18分18分16分16分16分
北京林业大学 2006–2007 学年第2学期试卷(A)解答
试卷名称:
线性代数Ⅱ课程所在院系:
理学院
考试班级:
学号:
姓名:
成绩:
一、填空题(将正确答案填在题中横线上)(每空3分,共计30分)
1、
2.设α=(2,-1,5),β=(-1,1,1),则α+β=,3α-2β=
3、如果一个向量组线性无关,那么它的任意一个部分组线性__无_关。
4、设三阶可逆矩阵的特征值是、、,则的特征值为1、、,且
5、设A是3阶方阵,且,则=25
6、设,则等于
7、设三阶方阵,其中均是三维列向量,则
8、设矩阵,,,,
则的秩等于__3_____。
二、计算行列式(本大题8分)
三、解答题(本大题6分)
取何值时,矩阵的秩是2.
四、解答题(本大题10分)
五、解答题(本题8分)
求齐次线性方程组的一个基础解系.
对系数矩阵作初等变换:
得同解方程组,取
得一个基础解系:
六、解答题(本题10分)
当k取何值时,方程组有解,并求出此时的通解.
当时,方程组有解且有无穷多解
此时,
七、证明题(本题6分)
八、证明题(本题8分)
.
根据得
所以当n为奇数时得.
九、解答题(本题14分)
设,
(1)求的特征值和特征向量
(2)求正交矩阵,使为对角阵,并写出对角阵。
(1)的特征值为,
当时,,
对应于的特征的向量为
当时,,
对应于的特征向量为,,
(2)将单位化
,
令,则是正交阵,且
北京林业大学2005-2006学年第一学期考试试卷B
线性代数课程所在院系:
考试班级学号姓名成绩
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
得分
阅卷人
一、填空题(每空3分,共24分)
1、已知,则
答案:
2、,已知矩阵A的秩r(A)=2,则
3、设是可逆矩阵的一个特征值,则矩阵有一个特征值等于
答案:
4、从的基到基的过渡矩阵为 。
5、在基,,下的坐标是_________。
6、设为阶矩阵,若,则必有一特征值为__________________.
7、实对称阵的所有特征值为,则对应二次型的标准形为________________。
8、二次型的规范形是_____________________。
二、(10分)计算阶行列式
求
四、(10分)求向量组
的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
一个极大线性无关组为
五、(10分)求常数值,使方程组
六、(10分)设,
1.求一个与都正交的向量。
2.利用施密特正交化方法,把向量组化为标准正交基
(1)设,由
由于,可解得,为任意常数。
——4分
(2)与都正交,只需正交化。
——9分
七、(10分)设3阶矩阵A的特征值,对应的特征向量为
,求及
令,则,———2分
,———6分
———8分
八、(10分),求可逆矩阵,使为对角矩阵,并给出
特征根为:
———4分
当时,
当时,———8分
故———10分
九、(8分)取何值时,二次型正定?
对应的实对称矩阵,———2分
由,,—6分
可解得,此时正定。
———8分
北京林业大学2007-2008学年第一学期考试试卷A
线性代数Ⅰ课程所在院系:
总分
试卷说明:
1.考试时间为120分钟,请掌握好答题时间;
2.答题之前,请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚;
3.本试卷所有试题答案写在试卷上;
(特殊要求请详细说明)
4.答题完毕,请将试卷和答题纸正面向外对叠交回,不得带出考场;
一、填空题(每空3分,共计33分)
1、设为3阶方阵,且则行列式2.
2、设均为4维列向量,且矩阵,,
如果,则行列式.
3、若,则齐次线性方程组基础解系中解向量的个数为__1___.
4、设是矩阵,则非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是r(A,b)=r(A)=n,有无穷多解的充分必要条件是r(A,b)=r(A)<
n
5、设向量与向量都正交,则0,-1.
6、实对称矩阵的特征值都是实数.
7、已知3阶矩阵的特征值是,则的三个特征值为.
8、若二次型是正定的,
则的取值范围是.
9、存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q,使得A=PBQ.这是矩阵A与B等价(相抵)
的充要条件.
二、(8分)计算n阶行列式
三、(10分)解矩阵方程
已知求矩阵.
四、(12分)已知方程组,当为何值时方程组无解?
当为何值时方程组有解?
并求解.
所以
(1)时无解;
(2)时有解,
通解为
五、(8分)已知向量组
试证明向量组线性相关;
并求向量组的一个极大线性无关组;
将其余向量表示成此极大线性无关组的线性组合.
,则向量组线性相关;
是向量组的一个极大线性无关组,且
六、(10分)已知和是线性空间的两组基,其中
(1)求由基到基的过渡矩阵.
(2)设向量在基下的坐标为,求在基下的坐标.
(1)设
(2)设向量在基下的坐标为X=,在基下的坐标为Y,则
七、(14分)求正交变换,将二次型
化为标准形,并写出正交矩阵.
八、(5分)设为实对称矩阵,,且.求的迹.
设为A的特征值,为对应的特征向量
又,所以知为重特征值,为重特征值,故。
北京林业大学2008--2009学年第一学期试卷A
线性代数(56学时)课程所在院系:
理学院
考试班级学号姓名成绩
1.本次考试为闭卷考试。
认真审题,请勿漏答;
2.考试时间为120分钟,请掌握好答题时间;
3.本试卷所有试题答案写在试卷纸上,其它无效;
4.答题完毕,请将试卷纸正面向外对叠交回,不得带出考场;
一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×
”)
(每小题3分,共12分)
1、若方程组含有自由未知量,则方程组将有无穷多解.(×
)
2、一个阶矩阵为非奇异的,当且仅当相抵于(是单位矩阵.(√)
3、任何两个迹相同的阶矩阵是相似的.(×
4、设是矩阵,则.(√)
二、单项选择题(在每小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内)
(每题3分,共15分)
1、已知()
;
;
;
2、均为阶方阵,且,则(C).
均为零矩阵;
至少有一个矩阵为奇异矩阵;
至少有一个为零矩阵;
均为奇异矩阵.
3、是维向量组线性相关的(A)条件.
充分;
必要;
充分必要;
必要而不充分的;
4、设为齐次线性方程组的解,为非齐次线性方程组的解,则(C).
为的解;
为的解;
为的解.
5、设是正交矩阵,是的第列,则与的内积等于()
三、填空(将正确答案填在题中横线上,每题3分,共21分)
1、设A为三阶方阵,且,则 1/16
2、设都是维行向量,且行列式
,则__16_____.
3、设是阶矩阵,若齐次线性方程组的基础解系中含有一个解向量,
则O
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- 北京林业大学 线性代数 期末 试题 04 10