安徽省安庆市怀宁县第二中学学年高二下学期期中线上检测数学理试题.docx

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安徽省安庆市怀宁县第二中学学年高二下学期期中线上检测数学理试题

安徽省安庆市怀宁县第二中学2020-2021学年高二下学期期中线上检测数学（理）试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．设，则等于（）

A．B．C．0D．

2．复数对应的点在虚轴上，则（）

A．，或B．，且

C．，或D．

3．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是（　　）

A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形

4．设为的极值点，则下列说法正确的是（）

A．必有B．不存在

C．或不存在D．存在但可能不为0

5．已知f1（x）＝cosx，f2（x）＝f1′（x），f3（x）＝f2′（x），f4（x）＝f3′（x），…，fn（x）＝fn－1′（x），则f2020（x）等于（）

A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx

6．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为（    ）

A．RB．2RC．D．

7．观察如图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）

A．B．C．D．

8．一物体在力F（x）＝4x﹣1（单位：

N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1m处运动到x＝3m处，则力F（x）所作的功为（　　）

A．16JB．14JC．12JD．10J

9．函数，的单调增区间是（）

A．和B．和

C．和D．和

10．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（）

A．B．

C．D．

11．已知函数在区间上是减函数，那么（）

A．有最小值B．有最大值

C．有最小值D．有最大值

12．设是定义域为R的恒大于0的可导函数，且，则当时有（）

A．B．

C．D．

二、填空题

13．如果，则实数的值为____________.

14．设点P是曲线上的任意一点，P点处的切线倾斜角为，则的取值范围为____________.

15．____________.

16．函数在区间上的最大值与最小值之和为____________.

三、解答题

17．已知，且，，，求a、b、c的值．

18．已知函数及上一点，过点P作直线l，使直线l和相切.求直线l的方程.

19．

（1）已知数列通项公式为，写出数列前5项.

（2）记数列的前n项和为，写出的前5项并归纳出的计算公式.

（3）选择适当的方法对

（2）中归纳出的公式进行证明.

20．如图所示，在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？

最大容积是多少？

21．已知函数.

（1）判断在上的单调性并证明；

（2）用适当的方法证明方程没有负根.

22．已知函数f（x）＝x2＋lnx.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）求证：

当x>1时，x2＋lnx

参考答案

1．C

【解析】

∵

∴

故选C

2．C

【分析】

利用复数的运算性质和几何意义即可得出.

【详解】

解：

由于复数对应的点在虚轴上,

因此,，解得，或

故选C

【点睛】

熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键.

3．C

【分析】

根据平行六面体的结构特征可得出合适的选项.

【详解】

根据题意，由于平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象，那么最适合的为平行四边形的运用，故可知答案为C.

故选：

C.

【点睛】

本题主要是考查了类比推理的运用，属于基础题．

4．C

【分析】

根据函数极值点的知识确定正确选项.

【详解】

设，则，，且当时，，递减；当时，，递增.

所以是的极小值点，且满足.由此排除BD选项.

设，当时，，递减；当时，，递增.

所以是的极小值点，但不存在，由此排除A选项.

综上所述，正确的选项为C.

故选：

C

【点睛】

本小题主要考查函数极值点的知识，属于基础题.

5．A

【分析】

根据题意求得，，，，从中找出规律，据此分析可得答案．

【详解】

解：

根据题意，，

，

，

，

，

，

则，

故；

故选：

．

【点睛】

本题考查导数的运算与函数的周期性，得到是关键，属于中档题．

6．C

【解析】

设圆锥的高为h,底面半径为r,

则R2=（h-R）2+r2,所以r2=2Rh-h2,

所以V=πr2h=h（2Rh-h2）

=πRh2-h3,V′=πRh-πh2,

令V′=0,得h=R.

当00;当

因此当h=R时,圆锥体积最大.

7．C

【分析】

由前两行与前两列都是两个黑的和一个空心的图形，且图形各不一样，即可得解.

【详解】

解:

观察前两行与前两列都是两个黑的和一个空心的图形，且图形各不一样，

则第三行或第三列也应具备这个特性，

即可知空格内应填“”,

故选:

C.

【点睛】

本题考查了归纳推理能力，属基础题.

8．B

【分析】

由定积分的物理意义，变力F（x）所作的功等于力在位移上的定积分，进而计算可得答案．

【详解】

根据定积分的物理意义，力F（x）所作的功为（2x2x）14；

故选B

【点睛】

本题主要考查了定积分在物理中的应用，同时考查了定积分的计算，属于基础题

9．A

【分析】

先求出函数的导数，然后令导数大于零，利用导数求函数的单调增区间即可.

【详解】

∵，

∴，

令且，

当时，，解得，

当时，，解得或，

所以函数的单调增区间是和.

故选：

A.

【点睛】

本题考查利用导数研究三角函数的单调性，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.

10．C

【分析】

根据所给图像分段分析函数的单调性判断即可.

【详解】

由的图象可得：

当时,,∴,即函数单调递增；

当时,,∴,即函数单调递减；

当时,,∴,即函数单调递减；

当时,,∴,即函数单调递增,

观察选项,可得C选项图像符合题意.

故选：

C.

【点睛】

本题主要考查了根据导函数的图形判断原函数的图形方法,属于基础题.

11．D

【解析】

试题分析：

由f（x）在[-1，2]上是减函数，知f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈[-1，2]，

则f′（-1）=3-2b+c≤0,且f′

（2）=12+4b+c≤0，⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤-，故选D.

考点：

本题主要考查了函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．

点评：

解决该试题的关键是先对函数f（x）求导，然后令导数在[-1，2]小于等于0即可求出b+c的关系，得到答案．

12．B

【分析】

构造函数，再根据可得，为减函数，再根据单调性列出不等式判断即可.

【详解】

设，则，由得，因为所以，又是定义域为R的恒大于0的可导函数，故.

故选：

B

【点睛】

本题为构造函数，利用导数判断函数的单调性，再根据函数单调性比较大小或解不等式典型考题，属于中档题.

13．2

【分析】

首先根据题意得到为实数，再计算的值即可.

【详解】

由题知：

为实数，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查复数的定义，属于简单题.

14．

【分析】

设点，根据导数的几何意义，求得，即可得到答案.

【详解】

设点，由函数，可得，

可得，即，

又由，所以.

故答案为：

.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

15．

【分析】

根据定积分的几何意义，画出几何图形，根据积分上限和下限即可求得其面积，即为积分值.

【详解】

令，则，

表示以为圆心，为半径的圆与，围城的阴影面积，

如图所示：

，故.

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查了定积分的几何意义，几何法在求定积分中的应用，属于简单题.

16．

【分析】

利用导数求得函数的单调性，进而求得极值和区间端点处的函数值值，找出函数的最大值和最小值即可.

【详解】

解：

由题得的定义域为，

由得，或,因为

所以时，，单调递增；

时，，单调递减；

所以为极小值点，且，

又因为，

又，所以

所以.

所以.

故答案为：

.

【点睛】

本题主要考查用导数求函数的最值，属于中档题.

17．，，．

【分析】

由题意对进行求导，可得，结合，，列出关于

、、的两个方程；再对进行计算，得出关于、、的另一个方程，将三个方程联立即可解答.

【详解】

∵，∴．①

又∵，∴．②

而，

取，

则，

∴.③

解①②③得，，．

【点睛】

本题是一道关于函数的题目，总体方法是掌握导数和积分的知识，属于基础题.

18．或.

【分析】

分切点为点，与点不为切点两种情况讨论，利用导数的几何意义求出切线方程；

【详解】

解：

由题意知，P点函数上.

（1）当切点为P点时，，直线l的斜率，

此时直线l的方程为，即.

（2）当P点不为切点时，可设切点坐标为，则此时直线l的斜率，

又，，，

解得，，，

此时直线l的方程为，即.

所以直线l的方程为：

或.

【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用，考查分类讨论思想，属于基础题.

19．

（1），，，，；

（2），，，，，；（3）证明见解析.

【分析】

（1）根据通项公式直接计算前项即可.

（2）首先计算的前5项，再归纳即可.

（3）首先验证时等式成立，假设时，等式成立，再证明时等式也成立即可证明.

【详解】

（1），，，，.

（2），，，，

，故

（3）当时，，显然等式成立.

假设时，等式成立，即有，

则当时有：

所以当时，等式也成立.

故原等式成立，归纳公式正确.

【点睛】

本题主要考查数学归纳法的证明，同时考查了数列的通项公式，属于中档题.

20．见解析

【分析】

设箱子的底边长为xcm，则箱子高h＝cm.故其体积V（x）＝（0

【详解】

设箱子的底边长为xcm，则箱子高h＝cm.

箱子容积V＝V（x）＝x2h＝（0

求V（x）的导数，得V′（x）＝60x－x2＝0，

解得x1＝0（不合题意，舍去），x2＝40.

当x在（0,60）内变化时，导数V′（x）的正负如下表：

x

（0,40）

40

（40,60）

V′（x）

＋

0

－

因此在x＝40处，函数V（x）取得极大值，并且这个极大值就是函数V（x）的最大值．

将x＝40代入V（x）得最大容积V＝402×＝16000（cm3）．

所以箱子底边长取40cm时，容积最大，最大容积为16000cm3.

【点睛】

本题主要考查导函数研究函数的最值，实际问题抽象为数学模型的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

21．

（1）函数在上为增函数；证明见解析；

（2）证明见解析.

【分析】

（1）任取，通过计算得到，由此证得在上为增函数.

（2）利用反证法，假设存在，满足.对分成和两种情况进行分类讨论，推出矛盾，由此证得方程没有负根.

【详解】

（1）函数在区间上单调递增，证明如下：

任取，

不妨设，则，

，，且，

.

又，

于是，

故函数在上为增函数.

（2）假设存在，满足.

①若，

则，，

与矛盾.

②若，则，，

与矛盾.

故方程没有负数根.

【点睛】

本小题主要考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性