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傅立叶变换数学三棱镜
第二章傅立叶变换—数学三棱镜
一.FT发展史
1.JosephFourier,1807,研究热传导和扩散,发现各次正弦谐波非常适于表示体温分布,指出任何周期信号均可用各次正余弦表示,1812获奖。
2.质疑期
LordKelvin
Lagrange:
三角级数不可能表示尖锐形状信号
3.傅立叶理论延伸:
周期信号→非周期信号
4.丰富完善期:
Dirichlet(1829)
狄氏条件:
①任意有限区间内,存在有限个一类间断点
②一个周期内,有限个极值点
5.蓬勃应用至今
①正余弦波是自然界最常见波形
原因②理论体系非常完美:
完备正交基
③简单:
内积展开
①解释信号的频谱分布,类似于prism,如电磁波谱
应用②深刻影响数字和物理两个基础学科:
如解微分方程,卷积,量子力学测不准原理解释
③各个行业普遍使用:
无线电台,外星系辐射
6.局限性:
P2倒数第二段时间定位性差
2.1框架理论
一.信号信息的提取
1.提取方法:
与一组已知函数进行内积运算
连续内积:
Cn=
>=
离散内积:
Cn=
>=
2.内积的理解
①衡量信号与已知函数的相似度—匹配、数字尺度、权重
②矢量意义:
平方程度,垂直程度
二.框架(对函数集的限制)—用于信号完整性、稳定性及冗余表示
1.框架的引入:
从两个角度论证框架的形成(两个信号Si,Sk)
A
0<A≤B<∞
则
形成一个框架(一对向量族,函数族的限定)
A=B紧框架
1.对偶函数
与信号重构
S=
(比喻)
:
elementaryfunction
:
dualfunction
Cn=
—分析变换分解
S=
—综合反变换重构
2.对偶函数的框架
0<A≤B<∞
1信号既可用
重构,也可用
重构
2框架的紧缩程度决定了对偶是否唯一(A=B=1时唯一)
A=B,可选
=
S=
3紧框架与信号冗余表示:
A越大,冗余性越高
A=B=1,生成正交基,无冗余
3.双正交基与正交基—
,
间的内积关系定义
双正交
正交
=
①
,自对偶
②正交是双正交的特例
③k=1:
规范正交
5.信号分解与重构的矩阵表示
:
M×1
N≥M分解矩阵G:
N×M
N≥M
重构矩阵H:
M×N
1N=M,分解矩阵G形成基,G,H均为方阵,G和H的各向量满足双正交关系
2N=M,G=H,分解矩阵形成正交基,这时G=
举例
例2.1:
对任意一个二维信号用三个基向量表示
表明:
①三个基向量{
}生成一框架,且是紧框架A=
②该框架不够紧,A=
>1,表示有信息冗余,原因三者线性相关
③对偶不唯一,当初始向量与对偶向量选为一致时,系统达到最小
范数
内积与卷积相关
1.相关
2.卷积(滤波)
例2.2
基波数字角频率n谐波次数(基函数序号)
m离散序号
N≥M
线性相关,框架界A=
,冗余
N=M形成正交基
N<MM维空间不完备
对
进行分析,m=0,1,2,3,…127
N=M,基函数
正交基,
其它
N=2M=256,基函数
,
其它
谱泄漏发生
三.框架问题的深入讨论
1.紧框架有助于计算展开系数,且其系数具有最小范数
S=
反例:
STFT中框架不紧,展开系数不易求
2.对于
=
正交基情况,Cn即为信号在
投影,物理意义明确
(
,
同时具有明确物理意义)
反例:
非正交情况,
难以反映信号特性
3.线性独立的紧框架可以形成正交基,变换后信息表示无冗余。
(例2.2)
4.双正交分解表示虽然也无冗余,但系数物理意义模糊。
5.两种特殊框架
①FT:
=
复指数函数,规范正交基
②Sinc函数:
=
规范正交基,采样定理的理论基础
Cn=
6.基本函数
的期望特性
①
频域能量最优集中傅立叶变换
②
能同时表征信号时频特性,如Gabor展开中的加高斯窗的复指数函数
③
容易构造
FT:
基波整数倍谐波
STFT:
平移+调制
小波变换:
伸缩,平移
2.2傅立叶变换
涉及信号系统,数字信号处理部分跳过不讲
一.两个例子
例:
举一高斯函数傅里叶变换(本书常用)
:
表示高斯函数的方差
1
联想:
概率论中的概率密度函数
越大,波形越瘦(
小)
越小,波形越胖(
大)
②理解
原因:
③观察
对时域宽度和频带宽度的影响
越大,波形越瘦,时域聚集度好,而频带越胖,频域聚集度差
反之,
越小,波形越胖,时域聚集度差,而频带越瘦,频域聚集度好
④时移对频谱函数影响引起相移“
”
⑤高斯函数可很好地刻画信号的局部时频特性
⑥意义:
高斯肖像被放入德国马克货币中
⑴高斯曲线无限可微⑵天文数学物理统计学工程学
例2.7用傅立叶变换解释内插滤波器原理
内插滤波器多采样率信号处理经常用
S(k)
y(k)
上采样补0内插低通滤波器
问题
a)为什么要引入内插滤波器?
b)为什么内插滤波器具有低通特性?
c)在满足采样定理前提下,内插后信息有无丢失?
d)内插滤波器的应用场合(多采样信号处理WVD数字实现)
时频尺度变大,则频域尺度变小,被压缩,同时产生“L-1”个镜像频谱
二.功率谱密度
1.经典功率谱密度:
则功率谱密度为
a)反映了信号的频域能量分布
b)丢失相位信息
c)为自相关函数的傅立叶变换
2.时变功率谱密度
自相关函数随时间变化
三.傅立叶变换几个基本性质
1.移位性质
时移:
频移:
2.尺度性质
越大,时域波形展宽,频谱收缩
越小,时域波形收缩,频谱展宽
a)可通过调节基函数时间尺度来刻画信号频域特性
b)
信号时频窗口不可能同时变窄测不准定理
3.共轭性质
(共轭翻转)
4.微分性质
4.卷积定理
6.帕塞瓦尔公式
令t=0,
令
则
{
}
则
令S(t)=h(t),则
2.4时域波形与功率谱特性
从数字角度描述信号的时频特性
表征时频特性的物理量
1.能量密度函数
a)
关系
时域能量密度函数
b)频域能量密度函数
2.平均时间
重心
①平均时间—
的一阶矩
②平均频率—
的一阶矩
③
令
则
令S(t)=
代入上式
=
即时微分相位的加权平均
④
的物理意义?
(openresearchtopic)
a.即时频率(F)对于多频信号就讲不通
b.WVD中,
即为平均即时频率(条件平均频率)
(多频信号P43解释一下)
3.信号的时宽(△t)与带宽(△w)
△ttimeduration△wfrequencybandwidth
①△t:
=
②△w:
=
方差△t,△w标准差
③
的计算
令
(求h(t))
=
两边对t求导
令
代入上式
带入定义式
带宽完全由幅值变化
和相位变化
决定
4.例题
例2.8归一化高斯函数
例2.9
频率调制高斯函数
例2.10高斯chirp信号
例2.11尺度函数
2.5不确定原理
为什么信号的时宽和带宽不能同时变小?
时宽有限,频宽无限
频宽有限,时宽无限
定理:
若
则
不等式取等号当且仅当
为高斯函数成立
证明:
为简明起见,假设
令
根据施瓦茨不等式,有
而
等号当且仅当
成立,
2.6离散Poisson求和公式
下一章讲离散Gabor展开有用
假定
为一周期为
的序列
=2,M=4,
—间隔(步长)
=
令
数据遍历了一周期
=
对B(k)进行IDFT
=
即:
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