包头一模内蒙古包头市届高三第一次模拟考试理数试题附答案精品.docx

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包头一模内蒙古包头市届高三第一次模拟考试理数试题附答案精品

2018年普通高等学校招生全国统一考试

（包头市第一次模拟考试）

理科数学

一、选择题：

本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数

满足

，则

（）

A．

B．

C．

D．

2.已知全集

，

，

，则

（）

A．

B．

C．

D．

3.《九章算术》中的“竹九节”问题：

现有一根

节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面

节的容积共

升，下面

节的容积共

升，则该竹子最上面一节的容积为（）

A．

升B．

升C．

升D．

升

4.若

，且

，则

的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

5.已知

，则

（）

A．

B．

C．

D．

6.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）

A．

B．

C．

D．

7.若双曲线

：

的离心率为

，一条渐近线的倾斜角为

，则

的值（）

A．大于

B．等于

C．小于

D．不能确定，与

，

的具体值有关

8.执行如图所示的程序框图，如果输入的

，则输出的

（）

A．

B．

C．

D．

9.现有

张牌

（1）、

（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。

现在规定：

当牌的一面为字母

时，它的另一面必须写数字

.你的任务是：

为检验下面的

张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（）

A．翻且只翻

（1）（4）B．翻且只翻

（2）（4）

C．翻且只翻

（1）（3）D．翻且只翻

（2）（3）

10.如图，在正方形

中，

，

分别是

，

的中点，

是

的中点，沿

，

，

将正方形折起，使

，

，

重合于点

，构成四面体，则在四面体

中，给出下列结论：

①

平面

；②

；③

平面

；④

；⑤平面

平面

.其中正确结论的序号是（）

A．①②③⑤B．②③④⑤C．①②④⑤D．②④⑤

11.已知函数

，若

，则实数

的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

12.已知

是圆

的直径，

是圆

的弦

上一动点，

，

，则

的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某人随机播放甲、乙、丙、丁

首歌曲中的

首，则甲、乙

首歌曲至少有

首被播放的概率是．

14.设函数

，

，

为

图象的对称轴，

为

的零点，且

的最小正周期大于

，则

．

15.设数列

的前

项和为

，若

，

，

，则

．

16.在平面直角坐标系

中，双曲线

的左支与焦点为

的抛物线

交于

，

两点.若

，则该双曲线的离心率为．

三、解答题：

共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：

共60分

17.在

中，内角

，

，

的对边分别为

，

，

，已知

.

（1）求

的值；

（2）若

，

，求

的面积

.

18.如图，四棱锥

中，

底面

，

，

，

，

为线段

上一点，

，

为

的中点.

（1）证明：

平面

；

（2）求二面角

的正弦值.

19.某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种.从试验田中抽取

株小麦，测量这些小麦的生长指标值，由测量结果得如下频数分布表：

生长指标值分组

频数

（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；

（2）求这

株小麦生长指标值的样本平均数

和样本方差

（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值

服从正态分布

，其中

近似为样本平均数

，

近似为样本方差

.

①利用该正态分布，求

；

②若从试验田中抽取

株小麦，记

表示这

株小麦中生长指标值位于区间

的小麦株数，利用①的结果，求

.

附：

.

若

，则

，

.

20.已知

，

是椭圆

：

的左右两个焦点，

，长轴长为

，又

，

分别是椭圆

上位于

轴上方的两点，且满足

.

（1）求椭圆

的方程；

（2）求四边形

的面积.

21.已知函数

，

.

（1）若

时，求函数

的最小值；

（2）若

，证明：

函数

有且只有一个零点；

（3）若函数

有两个零点，求实数

的取值范围.

（二）选考题：

共10分.请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.[选修4-4：

坐标系与参数方程]

在直角坐标系

中，直线

的参数方程为

（

为参数）.以坐标原点为极点，

轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

的极坐标方程为

.

（1）若

时，求

与

的交点坐标；

（2）若

上的点到

距离的最大值为

，求

.

23.[选修4-5：

不等式选讲]

已知函数

，

.

（1）当

时，求不等式

的解集；

（2）若不等式

的解集包含

，求

的取值范围.

数学（理科）参考答案

一、选择题

1-5:

ADCDB6-10:

CBBAC11、12：

DD

二、填空题

13.

14.

15.

16.

三、解答题

17.解：

（1）由正弦定理，设

，

则

.

由题设条件，得

，

整理得

.

又

，

所以

，即

.

（2）由余弦定理，可知

，①

由

（1）可知

，②

由

，再联立①②求得

，

，

，

，

所以

.

18.解：

（1）由已知得

，

取

的中点

，连接

，

，

由

为

的中点知

，

，

又

，故

，

所以四边形

为平行四边形，于是

，

平面

，

平面

，

所以

平面

.

（2）取

的中点

，连接

.

由

得

，从而

，

且

.

以

为坐标原点，

的方向为

轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

.

由题意知，

，

，

，

，

，

，

.

设

为平面

的法向量，则

，

即

，可取

.

设

为平面

的法向量，

则

，即

，可取

.

于是

，

.

所以二面角

的正弦值为

.

19.解：

（1）画图.

（2）抽取小麦的生长指标值的样本平均数

和样本方差

分别为

，

.

（3）①由

（1）知

，从而

.

②由①知，一株小麦的生长指标值位于区间

的概率为

，

依题意知

，

所以

.

20.解：

（1）由题意知

，

，所以

，

.

所以

，椭圆

的方程为

.

（2）设

，

，又

，

，

所以

，

，

由

，得

，

.

延长

交椭圆于

，

因为

，所以

，且

.

所以线段

为

的中位线，即

为线段

的中点，

所以

.

设直线

的方程为

，

代入椭圆方程得，

，即

.

所以

，

，

消去

，得

，依题意取

.

.

21.解：

（1）当

时，

，

所以

.

令

，得

，当

时，

；

当

时，

，所以函数

在

上单调递减，在

上单调递增，

所以当

时，

有最小值

.

（2）由

，得

，

所以当

时，

，

函数

在

上单调递减，所以当

时，

在

上最多有一个零点.

因为当

时，

，

，

所以当

时，函数

在

上有零点.

综上，当

时，函数

有且只有一个零点.

（3）由

（2）知，当

时，

在

上最多有一个零点.

因为

有两个零点，所以

.

由

，得

.

令

，

因为

，

，所以

在

上只有一个零点，

设这个零点为

，

当

时，

，

；

当

时，

，

；

所以函数

在

上单调递减；在

上单调递增.

要使函数

在

上有两个零点，只需要函数

的极小值

，即

.

因为

，

所以

，

可得

，

又因为

在

上是增函数，且

，

所以

，

，

由

，得

，

所以

，即

.

以下验证当

时，函数

有两个零点.

当

时，

，

，

所以

.

因为

，且

，

所以函数

在

上有一个零点.

又因为

（因

）.

且

，所以

在

上有一个零点.

所以当

时，函数

在

内有两个零点.

综上，实数

的取值范围是

.

22.解：

（1）曲线的普通方程为

，

当

时，直线

的普通方程为

，

由

，解得

，或

，

从而

与

的交点坐标为

，

.

（2）直线

的普通方程为

，

设

的参数方程为

（

为参数），

则

上的点

到

的距离为

.

当

时，

的最大值为

，

由题设得

，所以

，

当

时，

的最大值为

，

由题设得

，所以

，

综上，

或

.

23.解：

（1）当

时，不等式

等价于

，①

当

时，①式化为

，无解；

当

时，①式化为

，得

；

当

时，①式化为

，得

.

所以

的解集为

.

（2）当

时，

，

所以

的解集包含

，等价于

时

.

又

在

上的最大值为

.

所以

，即

，得

.

所以

的取值范围为

.