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Riemann积分忽视了函数的变化而只从定义域方面划分小区域来构造积分和,这样做的结果是将大量的函数排除在Riemann可积函数类之外,Lebesgue积分不是从分割自变量的区域而是从分割函数值域着手构造积分和。
例设在上有界,满足,任给,作分割
=L
其中,,并作点集
则对应于上面分割的积分和为,其中为点集的长度,这种积分的优点在于可以取很小,使得积分和的近似程度很高,它将积分对象从Riemann可积函数类扩充到更大一类函数——可测函数类。
积分和计算的关键是点集的度量,对于通常的区间的度量就是区间的长度或体积,而对于一般的点集的度量就不是一件简单的事情,它涉及到在中如何建立一般点集的一种度量方案,这就是Lebesgue外测度与测度理论。
Lebesgue外测度是对中一般的点集E给出的一种度量,是长度、面积和体积等概念的推广,是Lebesgue积分的基石,所以对其性质和计算的研究是非常重要的,下文即是对Lebesgue外测度的性质、可测集和可测函数的一些研究。
2.Lebesgue外测度
2.1Lebesgue外测度定义
Def1:
设。
若是中的可数个开矩体,具有,则称为的一个—覆盖,我们称为点集的Lebesgue外测度。
2.2Rn中点集的外测度性质
(1)非负性:
(2)单调性:
若,则
(3)次可加性:
证明:
,的L—覆盖,使得
,
,
显然,是的L—覆盖,从而有。
由的任意性可知结论成立。
(4)距离可加性:
设,是中的点集,若它们的距离
显然成立
只要证明即可。
设,对,作的L—覆盖,使得,其中的边长都小于,现将分为如下两组:
(ⅰ)(ⅱ)
且其中任一矩体皆不同时含有与中的点
由任意性可知
综上知
(5)平移不变性:
设,,令,则
E的任一L—覆盖经过的平移后,仍是的L—覆盖
,即
同理若对作向量平移,
则有,即
综上知
3.可测集与测度
3.1可测集与测度定义
Def2:
设,若对任意的点集,有,则称E为Lebesgue可测集,简称可测集,其中T称为试验集,可测集的全体称为可测集类,简记为。
对于可测集E,其外测度称为测度记为,也就是通常所说的上的Lebesgue测度。
对,的L—覆盖,使得
由任意性知:
(注意:
一般为了证明中任一点集E是可测集,则只需对任意一点集,证明成立即可,有时也可利用,则)
3.2可测集的性质
(1);
(2)若,则;
(3)若,则。
(4)若,则其并集也属于;
若进一步有,则,即在上满足可数可加性(或称为-可加性)。
4.可测函数
4.1可测函数定义
Def3:
设是定义在可测集上的广义实值函数,若对于任意的实数t,点集是可测集,则称是E上的可测函数,或称在E上可测。
4.2可测函数运算性质
(1)若,是E上的实值可测函数,则下列函数
①;
②;
③都是E上可测函数
证:
①对于
若,则由,可知。
在E上可测。
若,则由,由在E上可测知可测,即在E上可测。
若,则,即在E上可测。
②对于,,其中是全体有理数,从而可知是E上的可测函数。
③首先,在E上可测,对于,
,其中由上②知在E上可测。
即在E上可测。
(2)若是E上的可测函数列,则下列函数
③;
④都是E上可测函数
(3)若是E上的可测函数列,且有,则是E上的可测函数。
5.Lebesgue积分
5.1Lebesgue积分的定义
Def4:
设是上的非负可测函数,我们定义是E上的勒贝格积分
这里的积分可以是,若,则称在E上Lebesgue可积的。
设是上的可测函数,若积分,至少有一个是有极限值,则称为E上可积函数的全体记作。
5.2Lebesgue积分与Riemann积分的关系
Th1:
设是定义在有界闭区间[a,b]上的有界函数,则在[a,b]上是Riemann可积的充要条件是在[a,b]上的不连续点集是零测集。
Th2:
若在有界闭区间[a,b]上是Riemann可积的,则在[a,b]上也是Lebesgue可积的,其积分值相同。
6.小结
Lebesgue外测度是对中一般的点集E给出的一种度量,是长度、面积和体积等概念的推广,是Lebesgue积分的基石,它成功的解决了Riemann积分只适用于连续函数的的最大缺限,所以对其性质和计算的研究是非常重要的,本论文主要论述了它的一些性质和相关的证明。
首先,给出了Lebesgue外测度的定义;
接着着重指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质;
然后给出了测度的定义与性质;
最后延伸介绍了可测数函数与Lebesgue积分。
7.参考文献
[1]胡适耕.实变函数(第二版)[M].北京:
高等教育出版社,2014.
[2]周民强.实变函数论(第二版)[M].北京:
北京大学出版社,2008.
[3]周民强.实变函数解题指南[M].北京:
北京大学出版社,2007.
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