Proakis的数字通信第四版的习题答案中文版Word格式文档下载.doc
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令
因此
2.16滤波器的传递函数为:
令a=RC,v=2πf.那么
2.19因为
输出序列的自相关:
这里的最后等式来自于X(n)的自相关函数:
离散时间系统的频率响应为:
综上,系统输出的功率密度谱为:
2.20已知
功率密度谱为:
2.21本题中引用下标d表示离散过程,下标a表示连续时间过程,同样,f表示模拟频率。
fd表示离散频率。
(a)
因此取样信号的自相关函数等于X(t)的取样自相关函数。
令fd=fT,则有:
又因为离散时间的自相关函数是它的功率谱密度的反变换,于是有:
比较
(1),
(2):
得
(c)从(3)式可以得出:
否则出现混叠。
2.22(a)
(b)如果那么:
K=0
其他
因此序列X(n)是白噪声序列,T的最小值可以从下图的取样过程的功率谱密度得到
为了得到一个谱平坦序列,最大的抽样速率应满足:
(c)可由得到。
因此,
2.23假设那么:
这里Y(f)是y(t)的傅里叶变换,因为:
又
有:
当f=0时:
2.24
由于G=1,有
对低通滤波器,可得到:
将H(f)代入可得下式
3.4要证而
利用不等式
当且仅当可得
因为
3.6通过定义,差熵为:
对均匀分布随机变量
(a)a=1,H(X)=0
(b)a=4,H(X)=log4=2log2
(c)a=1/4,H(X)=log=-2log2
3.7(a)
(b)每信源字符的平均二进制个数为:
(c)信源熵为:
通过比较,信源熵要少于每个码字的平均长度。
3.9(a)
(b)
3.11(a)P(x)可以通过求得。
因此
类似地可证明
(b)利用不等式和,可以得到
将不等式两边乘以P(x,y)并对x,y求和,即可得
故有
当=1时取等号。
(c)
从(b)联立两个关系式可得:
当x,y独立取等号。
3.13
对于平稳过程和中n是独立的,因此就有
3.18在给定的下,的条件互信息可定义为:
又
因为有:
3.19假设a>
0,已知Y=aX+b是线性变换,
有
令那么
同理,当a<
0时,有:
3.20线性变换
因为{yi}和{xi}有相同的概率分布,即有
因此DMS的熵通过线性变换是不产生影响的。
3.21(a)霍夫曼码的设计如下,
平均比特率:
(b)一次编码两个电平符号,霍夫曼码的设计如下:
每电平对的二进制平均比特数为:
一个电平的平均比特数为:
(c)
3.25采用Lempel-Ziv编码方法分解题中序列,可以得到一下码段:
0,00,1,001,000,0001,10,00010,0000,0010,00000,101,00001,000000,11,01,0000000,110,...
码段数是18,对每一码段需要5位加一个附加位来表征一个新的信源输出。
3.27因为可得
下图描述了R(D)在取0,1,2,3时的值,从图中可看出,增加,失真率也在增加。
3.30(a)
由于X,G是相互独立,因此有p(x,g)=p(x)p(g),p(x|g)=p(x).
因为X,G是相互独立,所以Y也是独立,
由于Y=X+G,有
所以:
这里,利用了
从H(Y),H(Y|X),
3.31
3.36
3.38一阶预测器系数a11对预测数据的预测误差的正交性可使得均方误差减小:
最小均方误差为:
(b)对二阶预测器,
根据Levinson-Durbin算法
3.39
如果用相同的间隔长度分别量化,所需要的电平数为:
比特数:
利用矢量量化,有,,比特差:
3.41X,Y的联合概率密度函数为:
边缘分布P(x):
当,
的图如下:
根据对称性:
总的失真为
每对(x,y)所要的比特数为:
(c)采用矢量量化,失真度D
4.2
这里h(t)=,
它的傅里叶反变换:
而
4.3(a)
然而,因此有:
(b),
从(a)的结果有
4.5从傅里叶变换特性知道,如果x(t)是实值的,那么它的傅里叶变换满足,
因此为实值的条件是:
。
对于带通信号,有。
而,满足此条件的说明是实值低通信号,等效的带通信号正频部分在中心频率附近应该具有埃尔米特对称性,但一般来讲,带通信号不满足这个特性,因此,对应的低通信号是复值信号。
4.6利用估计理论中基于均方误差准则的结论,当误差正交于级数展开式的每一个函数时,获得的最小值,因此:
因为函数是正交的,
(1)式只存在k=n的部分即可简化为:
也即有
相应的残余误差为:
4.9信号波形的能量为:
相关系数:
4.10(a)波形是正交的,只要证明
因此是正交的。
(b)先确定加权系数
由上看到,从信号波形,n=1,2,3来看,是正交的,因此它不能表示为这些函数的线性组合。
4.11(a)作为正交基函数集,考虑集合:
用矩阵表示4个波形为:
因此波形的维数是4.
(b)波形由向量表示为:
(c)第1,2向量之间的距离为:
同理:
因此,任意两个向量之间的最小距离为
4.13的功率谱密度从2.14题有:
Y(t)的功率谱密度如图:
4.14
(a)因为每个序列信号速率是1/2T,g(t)的间隔为2T,在2nTt2nT+T,
(b)功率谱密度:
这里:
又因为,很容易得到
(c)上述功率谱密度与MSK是相同的,因此MSK可以产生交错四相PSK信号,其中g(t)是半个周期的正弦脉冲。
4.16
对于u(t)是广义平稳,必须有的条件。
4.17第一个基函数为:
第二个基函数:
表示的能量,
第三个基函数:
所以有
第四个基函数
4.20的自相关函数:
令,那么:
4.21
(a)因为,所以有:
每个符号概率,信号空间为:
序列包含的独立符号为:
所以
(c)转移矩阵为:
相应的马尔可夫链:
4.22(a)
序列与随机变量不相关,所以有:
(b)
而:
(c)如果取0,1并且等概,那么E(an)=1/2,
则有:
4.24k=2,
为了简化计算,定义,有:
当时,的乘积项可以忽略。
那么就有:
类似地,对(用m代替n),如果n(m)是偶数,,对于所有的,除了,在这种情况下:
对于的乘积项可以忽略,因为没有频谱重叠,因此:
和MSK信号比较,这个信号在频谱上有冲击脉冲。
4.26QPRS信号:
(a)同4.20题,序列可以取P(Bn=2)=P(Bn=−2)=1/4,P(Bn=0)=1/2
对序列,因为两个序列是独立的,有P{Bn=i,Cn=j}=P{Bn=1}P{Cn=j}
信号空间:
(b)如果令Zn=Bn+jCn,
因为序列Bn,Cn是独立的,具有相同的统计特性,有:
,有
(c)马儿可夫链及转移概率:
4.28相位树图:
从相位树图模得状态网格图:
状态图:
4.31脉冲Ck(t)定义为:
脉冲Ck(t)的持续时间
只需用找到使得S=L(2−ak,n)−n,易知=L-1,如果所有的,n=0,1,L-1是0,
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4.33
如果,则。
因此可以充足的消除线性频谱。
假想,,例如,,那么就有,s(t)是单脉冲。
然而,如果对所有的n,S(n/T)=0,线性频谱消失。
一个单脉冲就满足这个条件,如下图:
在此种情况下,所有对所有n,S(n/T)=0,所以条件是不必要的。
4.34有,
(b)对非独立的序列,功率谱密度S(t),
然而
因此:
需要
结果的功率谱:
(c)引入零点的条件在f=l/4T,=±
1,±
2,...得到,不是所有的都满足,通过预编码可以避免这个情况,设
bn=an+kan−4。
类似于(b),k=-1,在1/4T的倍数处出现频谱的零点。
4.36FSK的功率谱密度可以通过等式(4-4-60)且K=2,p0=p1=1/2得到,因此在这个条件下,载波的相位是确定的,可以得到:
这里是的傅里叶变换,特定情况下:
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