概率与数理统计复习材料Word文件下载.doc
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1、离散型与连续型 -17-
2、例题 -19-
五、随机变量的数字特征 -25-
1、数学期望(是确定的一个数,不是变量) -25-
2、方差 -25-
3、标准差 -26-
4、协方差 -26-
5、例题 -26-
六、几种重要的分布 -30-
1、离散型 -30-
2、连续型 -32-
3、例题 -33-
七、大数定律与中心极限定理 -39-
1、大数定律 -39-
2、中心极限定理 -39-
3、例题 -41-
八、样本分布 -45-
1、一些术语 -45-
2、样本平均数和样本方差的简算公式 -46-
3、几个常用统计量的分布 -46-
4、例题 -47-
九、参数估计 -49-
1、估计量 -49-
2、评价估计量好坏的三种最常用的标准 -49-
3、获得估计量的方法 -50-
4、例题 -52-
十、假设检验 -58-
1、一些术语 -58-
2、用置信区间的方法进行检验的基本思想(方便理解) -58-
3、两类错误 -58-
4、一个正态总体的假设检验 -58-
5、例题 -59-
一、随机事件
1、一些术语
基本事件
不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件
必然事件
符号为
不可能事件
样本空间
随机试验所有可能的结果组成的集合称为样本空间,记为
样本点
随机试验的每个可能结果,记为
2、事件间的关系
包含
用(事件A含于事件B)或(事件B包含事件A)表示
对于任何事件A,有
相等
用表示若且,则
并
(和)
用表示
即“A和B至少有一个发生”,“A发生或B发生”
交
(积)
用表示即“A发生且B发生”
差
用表示即“A发生且B不发生”
互斥事件
(互不相容事件)
用表示若,则称相容
对立事件
若且,则称互为对立事件,
记作
完备事件组
若事件为两两互不相容的事件,并且,则称构成一个完备事件组
3、事件间的运算规律
注:
可简写为
交换律
结合律
分配律
德·
摩根律
(对偶律)
4、易混淆的语句
“都没有”与“没有都”。
买三次彩票,“三次都没中”与“没有三次都中”是不一样的
5、例题
1
PPT
利用事件关系和运算表达以下事件的关系:
(1)A,B,C都不发生;
(2)A,B,C
不都发生
【答案】
(1)(或).
(2)(或)
2
在图书馆中随意抽取一本书,事件A表示数学书,B表示中文书,C表示平装书,用文字叙述下列事件:
①,②
(1)抽取的是精装中文版数学书.
(2)精装书都是中文书
3
作业
一批产品有合格品和废品,从中有放回地抽取三个产品,设分别表示第1,2,3次抽到废品,
(1)请用文字叙述下列事件;
;
.
(2)中和为对立事件.
(3)请用的运算关系式表示下列事件:
第一次抽到合格品:
;
只有第一次抽到合格品;
只有一次抽到合格品.
(1)三次至少有一次抽到废品;
三次都没有抽到废品;
三次至少有一次抽到合格品.
(2)A和B.(3);
;
二、概率
1、高中基础之阶乘、排列、组合
阶乘
①N!
=1×
2×
…×
N(N为正整数)②0!
=1
排列(有序)
①②
组合(无序)
①②③
2、概率与频率的区别
频率
在n次重复试验中,若事件A发生了m次,则称为事件A发生的频率
概率
在条件不变的情况下,重复进行n次试验,事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动。
且一般说来,n越大,摆动幅度就越小,则称常数p为事件A的概率,记作
3、概率的性质
0≤P≤1,
注:
不可能事件的概率为0,但概率为0的事件不一定是不可能事件;
必然事件的概率为1,但概率为1的事件不一定是必然事件。
4、古典概型
设试验中(有限个样本点),且,
则有
5、加法法则、条件概率、乘法法则
(1)加法法则:
当事件A、B互斥(即互不相容)时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(2)条件概率:
①(B是条件)(称作“A对B的条件概率”)
②(A是条件)(称作“B对A的条件概率”)
(3)乘法法则:
注:
将视为整体,可推出,
依此类推可得P(A1A2…An)=P(A1)·
P(A2|A1)·
P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)
6、一些公式
(1)概率的可列可加性:
若事件两两不相容,则
(2)完备事件组的概率:
(3)对立事件概率和为1:
P(A)+P()=1,P(A)=1-P()
(4)P(B-A)=P(B)-P(AB)(草稿画图)
(5)当AB(或BA)时,显然P(A)≤P(B),此时有P(B-A)=P(B)-P(A)
(6)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(A)+P(B)(草稿画图)
(7)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)+P(ABC)-P(AB)-P(AC)-P(BC)
7、全概率定理与贝叶斯定理
(1)全概率定理(又称全概率公式):
复杂事件概率没法直接计算,将其分解为若干
个较简单事件,再结合加法法则与乘法法则,计算出复杂事件的概率。
把这种思维
一般化,得到公式:
(2)贝叶斯定理(又称贝叶斯概率):
若构成一个完备事件组,并且它
们都具有正概率,则对任何一个概率不为0的事件B,有
8、独立试验概型
(1)独立性:
若两事件A、B满足P(AB)=P(A)·
P(B),则称A、B相互独立,简称
A、B独立
(2)若两事件A、B独立,则也相互独立
注:
非空事件独立必不互斥,互斥必不独立
9、贝努里定理
(1)独立试验序列概型:
在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型
(2)贝努里试验:
若某种试验只有两个结果,则称这个试验为贝努里试验
(3)n重贝努里试验:
n次独立重复的贝努里试验
(4)贝努里定理:
设一次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),则n重贝努里试
验中,事件A恰好发生k次的概率
10、例题
一个袋中有5个红球,3个黄球,2个白球,计算任取3个球恰为一红一黄一白的概率。
【答案】所求事件概率
将数字1,2,3,4,5写在5张卡片上,任取三张排成三位数,求这个数为奇数的概率。
【答案】个位数为奇数则为奇数,共有种排法.当这个数为奇数时,依次确定个、十、百位的数字,则个位数有种情况,十位数有种情况,百位数有种情况,所求事件概率P=.
两封信随机投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率及第一个邮筒内恰有一封信的概率
【答案】设A为前两个邮筒内没有信,B为第一个邮筒内恰有一封信,则
,.
4
已知则A与B恰有一个发生的概率为:
5
已知求A,B,C均不发生的概率.
.
6
设A,B为随机事件,求和.
【答案】,
(1)
(2)
7
已知,在下列三种情况下求.
(1),
(2),
(3).
(1)
(2)
8
已知,,,则.
【答案】,,
9
已知,
(1)当互不相容时,,;
(2)当相互独立时,,;
(3)当时,,.
(1)画图可知0.7,0
(2)与相互独立,则与也相互独立,
,
(3)画图可知0.4,0.3
10
某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项同时投资的概率为0.19,
(1)已知他已投入基金,则他再购买股票的概率是多少?
(2)已知他已购买股票,则他再投入基金的概率是多少?
【答案】设A为投入基金,B为购买股票,则
(1),即已知他已投入基金,则他再购买股票的概率是.
(2),即已知他已购买股票,则他再投入基金的概率是.
11
人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化,往往会去分析影响股票价格的基本因素,比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,人们估计,在利率下调的情况下,该支股票价格上涨的概率为80%,而在利率不变的情况下,其价格上涨的概率为40%,求该支股票将上涨的概率.
【答案】设为利率下调,为利率不变,为股票价格上涨,则
,构成一个完备事件组,且都具有正概率.
由全概率定理可知,
即该支股票将上涨的概率为0.64
12
设某一工厂有甲、乙、丙三个车间,它们生产同一种螺丝钉,每个车间的产量分别占该厂生产螺丝钉总产量的25%、35%、40%,每个车间成品中次品的螺丝钉占该车间生产量的百分比分别为5%、4%、2%,如果从全厂总产品中抽取一件产品,取得了次品,求它是乙车间生产的概率.
【答案】设、、分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,表示产品是次品,则
构成一个完备事件组,且都具有正概率.由贝叶斯定理可知,
即它是乙车间生产的概率约为4%
13
箱中有可供使用的三种型号的手电筒,第一种型号的手电筒使用超过100小时的概率为0.7,
第二种型号的手电筒和第三种型号的手电筒的相应概率分别为0.4和0.3,假定箱中有20%第一种型号的手电筒、30%第二种型号的手电筒,50%第三种型号的手电筒,
(1)随机取
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