第46课时 二次函数综合型问题.docx
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第46课时二次函数综合型问题
第46课时 二次函数综合型问题
(50分)
一、选择题(每题10分,共10分)
图46-1
1.[2015·嘉兴]如图46-1,抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A(a,0)和B(b,0),交y轴于点C,抛物线的顶点为D.下列四个判断:
①当x>0时,y>0;②若a=-1,则b=4;③抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)若x1<1
A.①B.②C.③D.④
【解析】 ①根据二次函数所作象限,判断出y的符号;
②根据A,B关于对称轴对称,求出b的值;
③根据>1,得到x1<1<x2,从而得到Q点距离对称轴较远,进而判断出y1>y2;
④作D关于y轴的对称点D′,E关于x轴的对称点E′,连结D′E′,D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值.求出D,E,D′,E′的坐标即可解答.
二、填空题(每题10分,共10分)
图46-2
2.[2015·衢州]如图46-2,已知直线y=-x+3分别交x轴,y轴于点A,B,P是抛物线y=-x2+2x+5上一个动点,其横坐标是a,过点P且平行y轴的直线交直线y=-x+3于点Q,则PQ=BQ时,a的值是__4,-1,4+2或4-2__.
【解析】 P点横坐标为a,因为P点在抛物线y=-x2+2x+5上,所以P点坐标为,又
PQ∥y轴,且Q点在函数y=-x+3上,所以点Q坐标为,B点坐标为(0,3),根据平面内两点间的距离公式,可得PQ=,BQ=,根据题意,PQ=BQ,所以
=,解得a的值分别为-1,4,4+2或4-2.
三、解答题(共30分)
3.(15分)[2014·内江改编]如图46-3,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),C(0,4),点B在抛物线上,CB∥x轴.且AB平分∠CAO.
(1)求抛物线的解析式;
(2)线段AB上有一动点P,过P作y轴的平行线,交拋物线于点Q,求线段PQ的最大值.
图46-3
解:
(1)A(-3,0),C(0,4),
∴AC=5,
∵AB平分∠CAO,
∴∠CAB=∠BAO,
∵CB∥x轴,∴∠CBA=∠BAO,
∴∠CAB=∠CBA,
∴AC=BC=5,∴B(5,4),
A(-3,0),C(0,4),B(5,4)代入y=ax2+bx+c得
解得
所以y=-x2+x+4;
第3题答图
(2)设AB的解析式为y=kx+b,把A(-3,0),B(5,4)代入得解得
∴直线AB的解析式为y=x+;
可设P,Q,
则PQ=-x2+x+4-=-(x-1)2+,当x=1时,PQ最大,且最大值为.
4.(15分)[2015·福州改编]如图46-4,抛物线y=x2-4x与x轴交于O,A两点,P为抛物线上一点,过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.
(1)这条抛物线的对称轴是__x=2__;直线PQ与x轴所夹锐角的度数是__45°__;
(2)若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ,求m的值.
解:
(2)设直线PQ交x轴于点B,分别过点O,A作PQ的垂线,垂足分别为E,F.
当点B在OA的延长线上时,显然S△POQ=S△PAQ不成立.
①如答图①所示,
当点B落在线段OA上时,==,
图46-4
由△OBE∽△ABF,得==,
∴AB=3OB.
∴OB=OA.
由y=x2-4x得点A(4,0),
∴OB=1,
∴B(1,0).
第4题答图①
∴1+m=0,∴m=-1;
②如答图②所示,
当点B落在线段AO的延长线上时,
==,
由△OBE∽△ABF,得==,
∴AB=3OB.
∴OB=OA.
第4题答图②
由y=x2-4x得点A(4,0),
∴OB=2,
∴B(-2,0).
∴-2+m=0,
∴m=2.
综上所述,当m=-1或2时,S△POQ=S△PAQ.
(30分)
图46-5
5.(15分)[2015·株洲]如图46-5,已知抛物线的表达式为y=-x2+6x+c.
(1)若抛物线与x轴有交点,求c的取值范围;
(2)设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1,x2,若x+x=26,求c的值;
(3)若P,Q是抛物线上位于第一象限的不同两点,PA,QB都垂直于x轴,垂足分别为A,B,且△OPA与△OQB全等,求证:
c>-.
解:
(1)∵y=-x2+6x+c与x轴有交点,
∴-x2+6x+c=0有实数根,
∴b2-4ac≥0,
即62-4×(-1)×c≥0,
解得c≥-9;
(2)∵-x2+6x+c=0有解,且x+x=26,
∴c≥-9,(x1+x2)2-2x1x2=26,
即-2×=26,
解得c=-5;
(3)设P的坐标为(m,n),则Q点坐标为(n,m),且m>0,n>0,m≠n,
将这两个点的坐标代入方程得
①-②得
n2-m2+7(m-n)=0,
(m-n)(m+n-7)=0,
∴m+n=7,
∴n=7-m,
代入方程①得,
-m2+7m+(c-7)=0,
∵存在这样的点,∴以上方程有解,
∴72-4×(-1)×(c-7)≥0,
解得c≥-,
而当c=-时,m=,此时n=,
故c>-.
图46-6
6.(15分)[2015·温州]如图46-6抛物线y=-x2+6x交x轴正半轴于点A,顶点为M,对称轴MB交x轴于点B,过点C(2,0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方),OE∥CD交MB于点E,EF∥x轴交CD的延长线于点F,作直线MF.
(1)求点A,M的坐标;
(2)当BD为何值时,点F恰好落在该抛物线上?
(3)当BD=1时,
①求直线MF的解析式,并判断点A是否落在该直线上;
②延长OE交FM于点G,取CF中点P,连结PG,△FPG,四边形DEGP,四边形OCDE的面积分别记为S1,S2,S3,则S1∶S2∶S3=__3∶4∶8__.
解:
(1)令y=0,则-x2+6x=0,解得x1=0,x2=6,∴A(6,0),∴对称轴是直线x=3,∴M(3,9);
(2)∵OE∥CF,OC∥EF,C(2,0),
∴EF=OC=2,∴BC=1,
∴点F的横坐标为5,
∵点F落在抛物线y=-x2+6x上,
∴F(5,5),BE=5.∵==,
∴DE=2BD,∴BE=3BD,∴BD=;
(3)①当BD=1时,BE=3,∴F(5,3).
第6题答图
设MF的解析式为y=kx+b,将M(3,9),F(5,3)代入,
得解得
∴y=-3x+18.
∵当x=6时,y=-3×6+18=0,∴点A落在直线MF上;
②∵BD=1,BC=1,
∴△BDC为等腰直角三角形,
∴△OBE为等腰直角三角形,
∴CD=,CF=OE=3,
∴DP=,PF=,
根据MF及OE的解析式求得点G的坐标为,作GN⊥EF交EF于点N,则EN=GN=,所以EG=,S△FPG,S梯形DEGP,S梯形OCDE的高相等,所以三者面积比等于底之比,
故S△FPG∶S梯形DEGP∶S梯形OCDE
=PF∶(DP+EG)∶(DC+OE)
=∶∶(3+1)
=∶2∶4=3∶4∶8.
(20分)
7.(20分)[2015·成都]如图46-7,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:
y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.
图46-7 备用图
(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示);
(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为,求a的值;
(3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形?
若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
解:
(1)令ax2-2ax-3a=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴A点坐标为(-1,0);
∵直线l经过点A,∴0=-k+b,b=k,
∴y=kx+k,
令ax2-2ax-3a=kx+k,即ax2-(2a+k)x-3a-k=0,
∵CD=4AC,∴点D的横坐标为4,
∴-3-=-1×4,∴k=a,
∴直线l的函数表达式为y=ax+a;
(2)如答图①,过点E作EF∥y轴,交直线l于点F,
设E(x,ax2-2ax-3a),则F(x,ax+a),
EF=ax2-2ax-3a-(ax+a)=ax2-3ax-4a,
第7题答图①
S△ACE=S△AFE-S△CFE=(ax2-3ax-4a)(x+1)-(ax2-3ax-4a)x=(ax2-3ax-4a)=a-a,
∴△ACE的面积的最大值为-a.
∵△ACE的面积的最大值为,
∴-a=,解得a=-;
(3)令ax2-2ax-3a=ax+a,
即ax2-3ax-4a=0,
解得x1=-1,x2=4,
∴D(4,5a),
∵y=ax2-2ax-3a,∴抛物线的对称轴为x=1,
设P(1,m),
①如答图②,若AD是矩形的一条边,则Q(-4,21a),
m=21a+5a=26a,则P(1,26a),
∵四边形ADPQ为矩形,∴∠ADP=90°,
∴AD2+PD2=AP2,
∴52+(5a)2+(1-4)2+(26a-5a)2=(-1-1)2+(26a)2,
即a2=,∵a<0,∴a=-,
∴P1;
第7题答图
②如答图③,若AD是矩形的一条对角线,
则线段AD的中点坐标为,Q(2,-3a),
m=5a-(-3a)=8a,则P(1,8a),
∵四边形APDQ为矩形,∴∠APD=90°,
∴AP2+PD2=AD2,
∴(-1-1)2+(8a)2+(1-4)2+(8a-5a)2=52+(5a)2,
即a2=,∵a<0,∴a=-,
∴P2(1,-4),
综上所述,以点A,D,P,Q为顶点的四边形能成为矩形,点P的坐标为或(1,-4).
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