高等数学第7章微分方程解答概要.docx
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高等数学第7章微分方程解答概要
习题7-2可分离变量的微分方程
1求下列微分方程的通解:
(1)
;
解原方程为
,分离变量得
两端积分得
,(C为任意常数)
即为原方程的通解。
(2)
;
解将原方程分离变量,得
两端积分得
或
故原方程的通解为
(C为任意常数)。
2、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
(1)
;
解将原方程分离变量,得
两端积分得
,即
故原方程的通解为
代入初始条件
得
.于是,所求之特解为
.
(2)
解将原方程分离变量,得
两端积分得
,即
故原方程的通解为
代入初始条件
得
.于是,所求之特解为
.
3、一曲线通过点(2,3),它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分,求这曲线方程.
解设曲线方程为,切点为.由条件,切线在x轴与y轴上的截距分别为2x与2y,于是切线的斜率
分离变量得
积分得
即
.
代入初始条件
得
故曲线方程为
.
习题7-3齐次方程
1、求下列齐次方程的通解
(1)
解(a)当
时,可将方程改写成
.令
即
所以有
.则原方程成为
.分离变量,得
.
两边积分得
即
.
将
代入上式整理,得通解为
;
(b)当
时,方程两边同除以
则原方程可改写成
即
(因为
时,
),也就是
.与x>0的情况一样)
所以,对任意的
方程的通解为
(C为任意常数).
(注:
如果C=0,则由原方程知,
即
或
若
则原方程变为
只有当
时成立;若
(A为常数),则原方程变成
当A<0时方程有解.)
(2)
解原方程可改写成
.令
即
所以有
.则原方程成为
.分离变量,得
.
两边积分得
即
.
将
代入上式,得通解为
(C为任意常数).
2.求齐次方程
满足所给初始条件的特解
解原方程可写成
.令
即
有
所以原方程成为
.
分离变量,得
积分得
即
代入
并整理,得通解为
.
由初始条件
得
.于是所求特解为
.
习题7-4一阶线性微分方程
1、求下列微分方程的通解
(1)
(2)
(3)
.
解
(1)由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为
(2)将原方程改写成
.由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为
.(C为任意常数)
(3)将原方程改写成
由一阶线性微分方程的通解公式得,通解为
.
即
.(C为任意常数)
(注:
当
时,去掉绝对值即得上述解答过程.而当
时,则
与上述结果一样)
2、求微分方程
满足所给初始条件的特解。
解由一阶线性微分方程的通解公式得,通解为
.
代入初始条件x=0,y=0得C=0.故所求特解为
.
3、求一曲线的方程,这曲线通过原点,并且它在点
处的切线斜率等于
。
解设曲线方程为
由题目条件得
即
由一阶线性微分方程的通解公式得,
由初始条件
得
.故所求曲线的方程为
.
4、用适当的变量代换将微分方程
化为可分离变量的方程,然后求出通解。
解令
则
且原方程变为
.分离变量得
.
两边积分得
即
.
代入
得原方程的通解为
(C为任意常数).
习题7-4可降阶的高阶微分方程
1、求下列微分方程的通解
(1)
解
,
(C1,C2为任意常数)
(2)
解令
,则
,且原方程化为
,分离变量,得
。
两边积分得
,即
,也就是
。
两边再积分,得原方程的通解为
。
(C1,C2为任意常数)
(3)
解令
,则
,且原方程化为
,当
时,有
。
分离变量,得
两边积分得
,即
,即
。
两边积分得
所以原方程的通解为
。
(C1,C2为任意常数)
(注:
如果p=0,则y为常数函数,也是原方程的解!
)
2、求微分方程
满足所给初始条件的特解。
解令
,则
,且原方程化为
,分离变量,得
,两边积分得
。
代入初始条件
,得
。
从而有
,即
两边再积分得
。
代入初始条件
,得
,故所求特解为
。
3、试求
的经过点
且在此点与直线
相切的积分曲线。
解因为直线
在(0,1)处的切线斜率为
,由题目条件知,所求积分曲线是初值问题:
的解。
对
两边积分得,
。
代入初始条件
,得
。
从而有
。
两边再积分得
。
代入初始条件
,得
,故所求积分曲线的方程为
。
习题7-6常系数齐次线性微分方程
1、求下列微分方程的通解
(1)
(2)
(3)
(4)
.
解
(1)特征方程为
特征根为
故方程的通解为
(
为任意常数).
(2)特征方程为
特征根为
故方程的通解为
(
为任意常数).
(3)特征方程为
特征根为
故方程的通解为
(
为任意常数).
(4)特征方程为
即
所以特征根为
故方程的通解为
(
为任意常数).
2、求微分方程
满足所给初始条件的特解。
解解特征方程
,得特征根为
。
故方程的通解为
,且有
。
代入初始条件
,解得
。
故所求的特解为
。
习题7-6常系数非齐次线性微分方程
1、求下列微分方程的通解
(1)
解特征方程为
特征根为
故对应的齐次方程的通解为
.
又
不是特征方程的根,令
是原方程的一个特解,代入原方程得
消去
可得
即
.所以原方程的通解为
(
为任意常数).
(2)
解特征方程为
特征根为
故对应的齐次方程的通解为
.
又
是特征方程的单根,设
是原方程的一个特解,代入原方程并整理得
比较系数得
即
.所以原方程的通解为
(
为任意常数).
(3)
解对应齐次方程的特征方程为
,解得
,故对应的齐次方程的通解为
因
是特征方程的单根,故可设
是原方程的一个特解,代入方程并消去
得
,比较系数,得
,即
。
故原方程的通解为
(C1,C2为任意常数)。
2、求微分方程
满足所给初始条件的特解。
解因为特征方程
的特征根为
故对应的齐次方程的通解为
.
因
不是特征方程的根,故可设
是原方程的一个特解,代入方程得
即
.
于是原方程的通解为
且有
.
代入初始条件
有
解得
所以,满足初始条件的特解为
.
3、设函数
连续,且满足
,求
。
解由所给方程可得
,在该方程两端对x求导,得
,
即
(1)
将x=0代入方程
(1)得
。
又在方程
(1)的两端对x求导,得
令
,则有初值问题
(2)
上述二阶线性常系数非齐次微分方程的特征方程为
,解得
,而
不是特征方程的根,故令
是方程
(2)得特解,代入方程
(2)并消去
,得
。
于是方程
(2)有通解
且有
。
代入初始条件
,有
,即
。
于是得
。
复习题七
1、求微分方程
,
满足所给初始条件的特解。
解所给方程为可分离变量的微分方程。
分离变量得
两端积分得
,即
。
代入初始条件
,有
,所以
,于是
即
是所求之特解。
2、求下列齐次方程的通解
(1)
;
(2)
.
解:
原方程可改写
,令
,则
,分离变量,得
,两端积分
,将
代入并化简,得通解
.
(2)原方程可改写成
.令
即
所以有
.代入原方程得
整理并分离变量,得
.两边积分得
即
也就是
.将
代入上式,得原方程的通解为
(C为任意常数)
3、求微分方程
,
满足所给初始条件的特解:
解:
令
,则
,分离变量得
,两端积分,得
,将
代入并化简,得通解
,由初始条件
,求得
,所求特解为
.
4、设有连接点
和
的一段向上凸的曲线弧
,对于
上任一点
,
曲线弧
与直线段
所围图形的面积为
,求曲线弧
的方程.
解:
设所求曲线方程为
,由题意
,等式两边对
求导有
,整理得微分方程
,此访程为一阶线性非齐次方程,由通解公式,得通解为
,又由曲线过
,可知
,故所求曲线方程为
5、求下列微分方程的通解
(1)
;
解
(2)
.
解
6、用适当的变量代换将方程
化为可分离变量的方程,然后求出通解。
7、求下列微分方程的通解:
(1)
;
解
(2)
解令
则
原方程化为
.分离变量,得
.两边积分得
故
又分离变量,得
.
当
时,原方程为
.两边积分得
.即
两边平方得
(其中
);
当
时,原方程为
.两边积分得
.即
两边平方得
(其中
);
综上讨论知,原方程的通解为
(
为不等于零的任意常数,C2为任意常数)
8、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
(1)
,
,
.
解
(2)
,
,
.
解
9、求下列微分方程的通解:
(1)
;
解
(3)
.
解特征方程
的特征根为
故对应齐次方程的通解为
.
因
不是特征方程的特征根,故可设
是原方程的一个特解.代入原方程,得
.
比较系数得
解得
即
.
故原方程的通解为
.
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