高中数学函数典型例题及习题Word文档格式.doc
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研究函数的问题,不管是具体的函数,还是抽象的函数,不管是简单的函数,还是复杂的函数,必须优先考虑函数的定义域。
之所以要做到这一点,不仅是为了防止出现错误,有时还会为解题带来方便。
4、对复合函数y=f[g(x)]的定义域的求解,应先由y=f(u)求出u的范围,即g(x)的范围,再从中解出x的范围I1;
再由g(x)求出y=g(x)的定义域I2,I1和I2的交集即为复合函数的定义域;
5、分段函数的定义域是各个区间的并集;
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域;
求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y=f(x),不能把它写成f(x,y)=0;
2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;
一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;
3、求函数解析式的一般方法有:
(1)直接法:
根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。
(2)待定系数法:
若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;
(3)换元法:
若给出了复合函数f[g(x)]的表达式,求f(x)的表达式时可以令t=g(x),以换元法解之;
(4)构造方程组法:
若给出f(x)和f(-x),或f(x)和f(1/x)的一个方程,则可以x代换-x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(-x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式;
(5)根据实际问题求函数解析式:
设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y的表达式;
要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。
典型例题
一、定义域、解析式
1、由函数解析式求函数定义域:
由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围,所以解题时要认真分析变量所在的位置;
最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
例1.求下列函数的定义域:
(5)在中,已知内角,边.设内角,周长为.
求函数的解析式和定义域.
分析:
例1中的五个题目,基本上把高考常考的求具体函数定义域的形式都包括在内了.既有解一元一次不等式、一元二次不等式,也有解指数、对数、三角函数不等式以及和实际问题联系在一起的求定义域.我们要在熟练掌握这些不等式的基本解法的基础上,切实把握求具体函数定义域的一些原则.
(1)由偶次方根内不小于0和分母不等于0的原则,知
(5)的内角和,由得.
由正弦定理,知
,.
因为,
所以
总结:
求解这类具体函数的定义域时,要求我们牢记一些常用的原则:
(1)分母不等于0;
(2)偶次方根内不小于0,奇次方根内可为一切实数;
(3)对数的真数大于0以及一个容易出错的函数的定义域:
(4)实际问题求定义域时要符合实际意义.
变式1.求下列函数的定义域:
参考答案:
(1)
变式2.求的定义域。
由题意知:
,从而解得:
x>
-2且x≠±
4.故所求定义域为:
{x|x>
4}。
2、求与复合函数有关的定义域:
利用抽象复合函数的性质解答:
(1)已知原函数的定义域为,求复合函数的定义域:
只需解不等式,不等式的解集即为所求函数的定义域。
(2)已知复合函数的定义域为,求原函数的定义域:
只需根据求出函数的值域,即得原函数的定义域
(1)是已知,即括号内是其他函数形式的定义域,此题为一元二次函数的形式;
而题
(2)相反.题(3)已知函数和所求函数的括号内都为其他函数.上述三题代表了求抽象函数定义域的常见形式.
(1)由条件知,
总结:
由上面的求解过程我们可以总结出解这类题的技巧、规律,即抽象函数的定义域
求解要切实把握两点:
(1)求函数的定义域是求函数表达式中x的范围;
(2)在一个题目里
函数括号内的式子的范围一样.
例2求下列函数的定义域:
(1)已知函数的定义域为,求函数的定义域。
(2)已知函数的定义域为,求函数的定义域。
(3)已知函数的定义域为,求函数的定义域。
(1)令-2≤—1≤2得-1≤≤3,即0≤≤3,从而-≤≤
∴函数的定义域为。
(2)∵的定义域为,即在中∈,令,∈,则∈,即在中,∈∴的定义域为。
(3)由题得
变式1、
(1)已知函数的定义域为,求函数的定义域
(2)若函数的定义域为,求函数的定义域。
参考答案:
(1)f(x)的定义域为[0,1];
(2)f(x)的定义域为[,4]
变式2、.求下列函数的定义域:
变式3若函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(log2x)的定义域。
由f(2x)的定义域是[-1,1]可知:
2-1≤2x≤2,所以f(x)的定义域为
[2-1,2],故log2x∈[2-1,2],解得,故定义域为。
3、求解含参数的函数的定义域:
一般地,须对参数进行分类讨论,所求定义域随参数取值的不同而不同。
例1.求函数的定义域。
解:
若,则x∈R;
若,则;
故所求函数的定义域:
当时为R,当时为,当时为。
说明:
此处求定义域是对参变量a进行分类讨论,最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式,必须根据a的不同取值范围分别论述。
例2求函数的定义域。
由题得
(1)求含有参数的函数的定义域时,注意在适当的地方分类讨论。
(2)对于指数函数和对数函数,如果已知条件中,没有给定底数的取值范围,一般要分类讨论。
变式1、求函数的定义域。
当a>
1时,函数的定义域为(0,+);
当0<
a<
1时,函数的定义域为(-3,0)
5、实际问题函数的定义域
先求函数的自变量的取值范围,再考虑自变量的实际限制条件,最后把前面两者的范围求交集,即得函数的定义域。
例1、用长为的铁丝编成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图所示)。
若矩形底边长为,求此框架围成的面积与关于的函数解析式,并求出它的定义域。
如图,设,则=,于是=
因此
即=-
再由题得
解之得0<<
所以函数解析式是=-,函数的定义域是。
变式1、一个圆柱形容器的底部直径是,高是.现在以的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度关于注入溶液的时间的函数解析式,并写出函数的定义域和值域.
求函数解析式
1、直接法:
由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
例1.已知函数y=f(x)满足xy<0,4x2-9y2=36,求该函数解析式。
由4x2-9y2=36可解得:
。
这是一个分段函数,必须分区间写解析式,不可以写成的形式。
变式1.已知,求的解析式.
用观察配凑的方法很容易发现函数的特点,容易求得答案为
2、待定系数法:
由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式,然后再求出各个参变量的值。
例2.已知在一定条件下,某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比,又测得该段河流某段平均水深为2m时,水流量为340m3/s,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
设,代入x,y的值可求得反比例系数k=780m3/s,故所求函数关系式为。
变式2.已知函数f(x)是一次函数,且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,
求f(x)的解析式。
先将f(x)=kx+b,然后代入函数关系式中,得到关于k,b的二元一次方程组,求解该二元一次方程组可得f(x)的解析式为f(x)=2x+7。
3、换元法:
题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。
例3.已知,试求。
设,则,代入条件式可得:
,t≠1。
故得:
要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。
变式3.若,求.
用换元法容易解得f(x)= 。
4、构造方程组法:
对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联立求解。
例4.
(1)已知,试求;
(2)已知,试求;
(1)由条件式,以代x,则得,与条件式联立,消去,则得:
(2)由条件式,以-x代x则得:
,与条件式联立,消去,则得:
本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数的定义域由解析式确定,不需要另外给出。
变式4.已知求.
5、实际问题中的函数解析式:
这是高考的一个热点题型,一般难度不大,所涉及知识点也不多,关键是合理设置变量,建立等量关系。
例5.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发,顺次经过C、D再到A停止。
设x表示P行驶的路程,y表示PA的长,求y关于x的函数。
当x∈[0,1]时:
y=x;
当x∈(1,2)时:
;
当x∈(2,3)时:
故综上所述,有
二、值域
(从自变量的范围出发,推出的取值范围)
例1.求函数的值域。
因为,所以,
所以函数的值域为。
2、配方法(是求二次函数值域的基本方法,如的函数的值域问题,均可使用配方法)
例2.求函数()的值域。
,
因为,所以,所以
所以,即
所以函数()的值域为。
3、分离常数法(分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法)
例4.求函数的值域。
因为,
所以,所以,
4、换元法(运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,如(、、、均为常数,且)的函数常用此法求解。
令(),则,
所以
因为当,即时,,无最小值。
5、函数的单调性法(确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域,形如求函数的值域(时为减函数;
时为增函数))
例5.求函数的值域。
因为当增大时,随的增大而减少,随的增大而增大,
所以函数在定义域上是增函数。
所以,所以函数的值域为。
6、利用有界性(利用某些函数有界
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