迎风型WENO格式-ReadWord下载.doc
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(3)
对于时间项,我们可以使用Runge-Kutta法来提高精度。
三阶TVD型Runge-Kutta法(简写为RK-3)为:
四阶非TVD型Runge-Kutta法(简写为RK-4)为:
下面我们假定,讨论的计算,并且略去上标“+”;
当时,与关于对称。
简要介绍一下迎风型WENO格式的重构,详细过程请参考Jiang和Shu的论文。
其基本思想通过线性组合低阶通量得到高阶通量,这些系数叫做线性权重。
WENO格式是基于ENO格式构造出来的,有关ENO格式的构造这里就不再赘述,可以参考Shu和Osher的文章。
根据r阶精度的ENO格式的选取模板(即插值区域)思想,考虑迎风效应,选取初始模板为,经过r-1次扩充,可能的模板有r个:
r阶ENO格式是从上述模板中选取一个最光滑的模板,在其上构造插值多项式来逼近f在附近的数值通量,其数学表达式为:
(4)
其中是一个插值多项式,它满足下面的关系式:
(5)
a2l为已知常数,可以从Shu和Osher的文章查到,例如:
。
现以三阶的ENO格式为例说明之。
此时被选模板有三个:
它们对应的数值通量分别为:
首先我们来确定,根据式(4)可以得到
其中是在上构造的二次插值多项式,用Newton插值方式表示如下:
于是我们可以得到
所以 (6)
同理可得和
所以 (7)
所以 (8)
ENO的思想就是在若干个模板里选出一个最光滑的,并由它求出数值通量。
在包含间断的模板里,我们非常希望采用这种方法,因为它能排除包含间断模板中的不是很精确甚至完全不精确的信息。
然而在光滑的模板里面,这种做法却不是我们所希望的,因为此时所有可能的插值模板都提供着同样精确的信息,从而浪费了其他r-1个模板。
事实上对于r阶ENO格式而言,有r个被选模板,如果将它们合并在一起将形成一个包含2r-1个格点的插值区域,按照式子(4)可以给出网格界面处2r-1阶的近似:
(9)
下面,我们依旧以三阶ENO为例,它的三个模板一共包含五个点,所以可以构造一个四次插值多项式:
则数值通量函数可以构造为:
求得界面处的数值通量:
(10)
它正好是五阶上游中心格式的数值通量,但是它不能排除包含间断的模板所带来的不精确信息,用它所计算的通量在间断附近会产生非物理的振荡。
为此,构造WENO格式以解决此问题。
WENO格式的数值通量表达式为:
(11)
其中由(4)确定,是赋予相应模板的权重,问题的关键是如何选择。
为了获得基本无振荡的性质,应该使与相应模板的光滑性联系起来,使得包含间断的模板被赋予几乎为零的权重。
同时要求在光滑的模板中权重的分布将使得式(11)与式(9)的通量相接近。
其实可以组合r-1阶数值通量来求得2r-1阶数值通量:
(12)
通过简单的代数运算可以确定这些系数,并且它们满足。
对于三阶ENO格式而言,把式(6)(7)(8)和(10)带入(12)就可以确定这些系数,它们的值为:
(13)
由式(11)和(12)等号两边相加,可得
因为,如果要求,那么上式就可以改写为:
(14)
上式右端第一项是的2r-1阶近似,其精度为。
因为式(14)第二项的求和符号内的两项的乘积的第二项的精度是,所以如果再要求权重系数满足,那么式(14)右端第二项的精度在光滑区域将达到。
也就是说如果的选择符合下述三个条件,那么式(11)的精度在光滑区域将有;
同时此数值通量将有ENO基本无振荡的性质,此时称为最佳权重。
①组合系数符合;
②在光滑区域内组合系数满足;
③任何包含间断的模板都被赋予几乎为零的权重,即。
Jiang和Shu选取如下符合上面三个条件的系数:
(15)
其中,是一个小量,一般取10-6,用来避免分母为0;
p是大于等于2的正整数,它的作用是放大模板的不光滑性,使得包含间断的模板的权重更小;
ISk是第k个模板的光滑性度量。
Jiang和Shu采用如下方法度量模板的光滑性:
(16)
对于三阶ENO而言,将前面的带入上式,有
(17)
当r=3时,我们验证一下是否符合最佳权重条件。
首先,由上述各式构造的符合。
其次,分析的精度,将式(17)进行Taylor展开,我们可以得到:
如果,有;
将进行Taylor展开,有,把它带入的表达式,并利用Taylor展开和,可得;
这说明在光滑区域,WENO格式有五阶精度。
当,即极值点附近,从Taylor展开有,此时,则有;
这就意味着在极值点附近,WENO的精度将是四阶,而不是像Jiang和Shu的文献所述有五阶精度,这一点原文可能有误。
最后,如果模板包含了间断,则对应的ISk是很大的值,从而和将是接近于零的值。
综上所述,对于r=3,由式
(1)、
(2)、(3)、(6)、(7)、(8)、(11)、(13)、(15)和(17)所确定的WENO格式空间(极值点附近除外)具有五阶精度,并且继承了ENO的基本无振荡的性质。
应当指出的是上述格式只给出了,Jiang和Shu的论文指出与关于对称,也就是当特征值为负时,上述所有公式的各个节点系数,相对于特征值为正时的节点系数,关于点对称。
因此,对于三阶ENO格式而言下述模板的对应节点的系数是相同的:
特征值为正的节点:
特征值为负的节点:
从而可以得到相应的表达式。
也可以再重复一遍的推导过程来得到的表达式。
下面给出三阶ENO格式,也就是五阶WENO格式的相应结果。
当时,根据迎风思想,初始模板选取为,经过两次扩充,备选的模板为:
在这些模板上的二次插值函数分别为:
(18)
此时,四次插值多项式为:
则可以求得组合系数:
权重的表达式为:
每个模板的光滑性度量:
下面,我们把上述WENO格式推广到多维向量双曲方程。
对于一维的Euler方程组,它的半离散格式为:
(19)
本文采用Lax-Friedrichs(LF)矢通量分裂方法:
其中α是F的Jacobian矩阵特征值的绝对值的最大值。
我们取的Jacobian矩阵的半点平均值。
Aj+1/2的左右特征向量矩阵记为L、R,对应特征值对角矩阵为,则有,。
(注意:
此时都是点的值。
)
将特征分裂为,此时Euler方程变为(应用了局部冻结法):
将上式最后一项左右各乘以L:
则上式中的对流项的数值通量为:
再把它投影回原来的分量形式:
在式(19)中。
对于多维方程组可以应用维数分裂的方法得到。
8
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