重庆市高考数学考试理科及详解.docx
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重庆市高考数学考试理科及详解
重庆市高考数学考试(理科)及详解
————————————————————————————————作者:
————————————————————————————————日期:
2012年重庆市高考数学试卷(理科)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共计50分.在每小题给出的四个备选选项中,只有一个是符合题目要求的
1.(5分)(2012•重庆)在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前5项和S5=( )
A.
7
B.
15
C.
20
D.
25
2.(5分)(2012•重庆)不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
3.(5分)(2012•重庆)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=1的位置关系一定是( )
A.
相离
B.
相切
C.
相交但直线不过圆心
D.
相交且直线过圆心
4.(5分)(2012•重庆)的展开式中常数项为( )
A.
B.
C.
D.
105
5.(5分)(2012•重庆)设tanα,tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根,则tan(α+β)的值为( )
A.
﹣3
B.
﹣1
C.
1
D.
3
6.(5分)(2012•重庆)设x,y∈R,向量=(x,1),=(1,y),=(2,﹣4)且⊥,∥,则|+|=( )
A.
B.
C.
D.
10
7.(5分)(2012•重庆)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )
A.
既不充分也不必要的条件
B.
充分而不必要的条件
C.
必要而不充分的条件
D.
充要条件
8.(5分)(2012•重庆)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1﹣x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.
函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f
(1)
B.
函数f(x)有极大值f(﹣2)和极小值f
(1)
C.
函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f(﹣2)
D.
函数f(x)有极大值f(﹣2)和极小值f
(2)
9.(5分)(2012•重庆)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是( )
A.
(0,)
B.
(0,)
C.
(1,)
D.
(1,)
10.(5分)(2012•重庆)设平面点集,则A∩B所表示的平面图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)
11.(5分)(2012•重庆)若(1+i)(2+i)=a+bi,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a+b= _________ .
12.(5分)(2012•重庆)= _________ .
13.(5分)(2012•重庆)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则c= _________ .
14.(5分)(2012•重庆)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若,则|AF|= _________ .
15.(5分)(2012•重庆)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 _________ (用数字作答).
三、解答题:
本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(13分)(2012•重庆)设,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线垂直于y轴.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.
17.(13分)(2012•重庆)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.
(Ⅰ)求甲获胜的概率;
(Ⅱ)求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望.
18.(13分)(2012•重庆)设f(x)=4cos(ωx﹣)sinωx﹣cos(2ωx+π),其中ω>0.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的值域
(Ⅱ)若f(x)在区间上为增函数,求ω的最大值.
19.(12分)(2012•重庆)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点
(Ⅰ)求点C到平面A1ABB1的距离;
(Ⅱ)若AB1⊥A1C,求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值.
20.(12分)(2012•重庆)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
(Ⅱ)过B1做直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.
21.(12分)(2012•重庆)设数列|an|的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1,其中a2≠0.
(I)求证:
|an|是首项为1的等比数列;
(II)若a2>﹣1,求证:
,并给出等号成立的充要条件.
2012年重庆市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共计50分.在每小题给出的四个备选选项中,只有一个是符合题目要求的
1.(5分)(2012•重庆)在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前5项和S5=( )
A.
7
B.
15
C.
20
D.
25
考点:
等差数列的性质。
439658
专题:
计算题。
分析:
利用等差数列的性质,可得a2+a4=a1+a5=6,再利用等差数列的求和公式,即可得到结论.
解答:
解:
∵等差数列{an}中,a2=1,a4=5,
∴a2+a4=a1+a5=6,
∴S5=(a1+a5)=
故选B.
点评:
本题考查等差数列的性质,考查等差数列的求和公式,熟练运用性质是关键.
2.(5分)(2012•重庆)不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
其他不等式的解法。
439658
专题:
计算题。
分析:
由不等式可得,由此解得不等式的解集.
解答:
解:
由不等式可得,解得﹣<x≤1,故不等式的解集为,
故选A.
点评:
本题主要考查分式不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于中档题.
3.(5分)(2012•重庆)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=1的位置关系一定是( )
A.
相离
B.
相切
C.
相交但直线不过圆心
D.
相交且直线过圆心
考点:
直线与圆的位置关系。
439658
专题:
探究型。
分析:
对任意的实数k,直线y=kx+1恒过点(0,1),且斜率存在,(0,1)在圆x2+y2=1上,故可得结论.
解答:
解:
对任意的实数k,直线y=kx+1恒过点(0,1),且斜率存在
∵(0,1)在圆x2+y2=1上
∴对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=1的位置关系一定是相交但直线不过圆心
故选C.
点评:
本题考查直线与圆的位置关系,解题的关键是确定直线y=kx+1恒过点(0,1),且斜率存在.
4.(5分)(2012•重庆)的展开式中常数项为( )
A.
B.
C.
D.
105
考点:
二项式定理的应用。
439658
专题:
计算题。
分析:
在的展开式通项公式中,令x的幂指数等于零,求出r的值,即可求得展开式中常数项.
解答:
解:
的展开式通项公式为Tr+1==,
令=0,r=4.
故展开式中常数项为=,
故选B.
点评:
本题主要考查二项式定理,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.
5.(5分)(2012•重庆)设tanα,tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根,则tan(α+β)的值为( )
A.
﹣3
B.
﹣1
C.
1
D.
3
考点:
两角和与差的正切函数;根与系数的关系。
439658
专题:
计算题。
分析:
由tanα,tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根,利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值,然后将tan(α+β)利用两角和与差的正切函数公式化简后,将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值.
解答:
解:
∵tanα,tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根,
∴tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2,
则tan(α+β)===﹣3.
故选A
点评:
此题考查了两角和与差的正切函数公式,以及根与系数的关系,利用了整体代入的思想,熟练掌握公式是解本题的关键.
6.(5分)(2012•重庆)设x,y∈R,向量=(x,1),=(1,y),=(2,﹣4)且⊥,∥,则|+|=( )
A.
B.
C.
D.
10
考点:
数量积判断两个平面向量的垂直关系;向量的模;平面向量共线(平行)的坐标表示。
439658
专题:
计算题。
分析:
由两个向量垂直的性质可得2x﹣4=0,由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0,由此求出x=2,y=﹣2,以及的坐标,从而求得||的值.
解答:
解:
∵向量=(x,1),=(1,y),=(2,﹣4)且⊥,∥,则有2x﹣4=0,﹣4﹣2y=0,
解得x=2,y=﹣2,故=(3,﹣1).
故有||==,
故选B.
点评:
本题主要考查两个向量共线的性质,两个向量垂直的性质,两个向量坐标形式的运算,属于基础题.
7.(5分)(2012•重庆)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )
A.
既不充分也不必要的条件
B.
充分而不必要的条件
C.
必要而不充分的条件
D.
充要条件
考点:
必要条件、充分条件与充要条件的判断;奇偶性与单调性的综合。
439658
专题:
证明题。
分析:
由题意,可由函数的性质得出f(x)为[﹣1,0]上是减函数,再由函数的周期性即可得出f(x)为[3,4]上的减函数,由此证明充分性,再由f(x)为[3,4]上的减函数结合周期性即可得出f(x)为[﹣1,0]上是减函数,再由函数是偶函数即可得出
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