八年级上有关全等三角形-探究题-总结Word格式文档下载.doc
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类型2.线段间的数量关系
基础练习
1.在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
①△ADC≌△CEB;
②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:
DE=AD-BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系,并加以证明.
2.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°
,∠A=∠D=30°
,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证:
AF+EF=DE;
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°
<α<60°
,其它条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出你在
(1)中猜想的结论是否仍然成立;
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°
<β<180°
,其它条件不变,如图③.你认为
(1)中猜想的结论还成立吗?
若成立,写出证明过程;
若不成立,请写出AF、EF与DE之间的关系,并说明理由.
3.如图1,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC;
△EFP的边FP也在直线l,边EF与边AC重合,且EF=FP.
(1)在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;
(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;
(3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为
(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?
若成立,给出证明;
若不成立,请说明理由.
例1.已知四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=120°
,∠MBN=60°
,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.
(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF=EF;
(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
:
例2.已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ADC=120°
.将一块足够大的三角尺MNB的30°
角顶点与四边形顶点B重合,当三角尺的30°
角(∠MBN)绕着点B旋转时,它的两边分别交边AD,DC所在直线于E,F.
(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如题图1),请直接写出AE,CF,EF之间的数量关系.
(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时(如题图2),
(1)中的结论是否仍成立?
请写出你的猜想,并说明理由.
(3)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时(如题图3和题图4),请分别直接写出线段AE,CF,EF之间的数量关系.
例3.如图,在△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥GF,交AB于点E,连接EG.
BG=CF;
(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论.
练习.已知:
△ABC中,D为BC中点,E为AB上一点,F为AC上一点,ED⊥DF,连接EF,求证:
BE+FC>EF.
例4.CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°
,∠α=90°
,
则BE=______CF;
EF=__________|BE-AF|(填“>”,“<”或“=”);
②如图2,若0°
<∠BCA<180°
,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠α+∠BCA=180°
_________________,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
例5.如图①、②、③中,点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,DB交AE于P点.
(1)求图①中,∠APD的度数60°
______________;
(2)图②中,∠APD的度数为90°
______________,图③中,∠APD的度数为108°
________________;
(3)根据前面探索,你能否将本题推广到一般的正n边形情况?
若能,写出推广问题和结论;
若不能,请说明理由.
练习:
1.
(1)已知:
如图①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=60°
,求证:
①AC=BD;
②∠APB=60度;
(2)如图②,在△AOB和△COD中,若OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为AC=BD______________;
∠APB的大小为______________α;
180°
-α
.
2.
(1)如图1,图2,图3,在△ABC中,分别以AB,AC为边,向△ABC外作正三角形,正四边形,正五边形,BE,CD相交于点O.
①如图1,求证:
△ABE≌△ADC;
②探究:
如图1,∠BOC=120°
___________;
如图2,∠BOC=________________;
9如图3,∠BOC=________________;
72°
(2)如图4,已知:
AB,AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边;
AC,AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边,BE,CD的延长相交于点O.
①猜想:
如图4,∠BOC=360÷
n(用含n的式子表示);
②根据图4,证明你的猜想.
例6.如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图①,然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到图③,请解答下列问题:
(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:
①在图②中,BD与CE的数量关系是____________;
②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;
例7.如图,已知△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
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