新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读第五章一元函数的导数及其应用章整体解读Word文档下载推荐.docx
- 文档编号:13042982
- 上传时间:2022-10-03
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:95.10KB
新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读第五章一元函数的导数及其应用章整体解读Word文档下载推荐.docx
《新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读第五章一元函数的导数及其应用章整体解读Word文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读第五章一元函数的导数及其应用章整体解读Word文档下载推荐.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(小)值等性质的基本方法,体会导数的意义.本章知识结构如下:
16
“51导数的概念及其意义”按照概念教学的基本环节展开.首先通过高台跳水运动员的速度、抛物线的切线的斜率两个典型变化率实例,引导学生两次完整经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,进而概括这两个实例在解决问题的思想方法和结果形式上的共同特征,并用这种思想方法研究一般函数=f()从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,抽象出导数的概念——导数是瞬时变化率的数学表达.在此基础上,通过研究从曲线的割线过渡到切线、从割线斜率过渡到切线斜率的过程,得到导数的几何意义,让学生又一次经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.在介绍两个典型实例、导数的概念及其几何意义的过程中,教科书不断渗透“用运动变化的观点研究问题”“逼近”“以直代曲”等微积分的重要思想,不断让学生体会极限的思想和方法,提升学生的数学抽象和直观想象素养.
高中阶段研究的函数是由基本初等函数通过有限次四则运算和复合得到的,因此,引入导数的概念之后,“52导数的运算”先研究基本初等函数的导数、导数的四则运算法则以及复合函数的导数,再解决计算简单初等函数导数的问题.本节首先根据导数的定义求6个常用的具体函数的导数,进而从特殊到一般直接给出基本初等函数的导数公式.接着,通过具体实例让学生直观感知两个函数和、差的导数与它们的导数的和、差之间的关系.在此基础上,直接给出导数的四则运算法则.最后,通过具体实例,在让学生直观感知求复合函数
导数的方法的基础上,直接给出复合函数的求导法则.在本节相关内容的展开过程中,着重引导学生利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则,求简单函数及简单的复合函数
(限于形如f(ab))的导数,并从中进一步体会极限思想,提升学生的数学运算素养.
导数定量地刻画了函数的局部变化,“53导数在研究函数中的应用”利用导数研究函数的性质,主要研究函数的单调性、极值与最大(小)值等重要性质.“531 函数的单调性”首先就高台跳水运动问题,考察运动员的重心距离水面的高度函数h(t)的单调性,与h(t)的导数v(t)=h′(t)的正负之间的关系;
接着,通过更多的具体函数的图象,探讨函数导数的正负与这个函数单调性的关系;
进而,从具体到抽象、从特殊到一般,概括出它
们的共性规律,给出一般可导函数f()的单调性与其导函数f(x)的正负之间关系;
最后利
用这个关系,用导数研究函数的单调性,求简单函数的单调区间,并讨论一些函数的增长快慢问题.“532 函数的极值与最大(小)值”仍然采用从具体到抽象、从特殊到一般的方法,从导数的角度给出可导函数极值点的特征(极值的必要条件),并利用可导函数的单调性与函数导数的正负之间的关系,用导数求函数的极值、最大(小)值以及实际问题的最大
(小)值,并利用导数研究函数图象和性质的综合性问题.通过本节的学习,让学生认识导数是研究函数性质的基本工具,也是解决优化问题的一种通法,提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养.
导数的概念是微积分学的最重要的概念之一,在微积分学中具有基础性地位,也是本章最为核心的内容.利用导数的基本运算法则求简单函数和简单复合函数的导数,是运用导数研究函数性质的基础和必备技能.对很多运动变化问题的研究最后都会归结为对各种函数的研究,其中函数的增减,以及增减的范围、增减的快慢等是最基本的问题.导数简明地回答
了这些问题:
由f(x)的符号可知函数f()是增还是减,由f()绝对值的大小可知函数
变化的快慢.不仅如此,导数也是研究函数极值问题、解决优化问题的一种通法.导数定量地刻画了函数的局部变化规律,是研究函数性质的基本工具.因此本章的重点是:
导数的概念,利用基本初等函数的导数公式和导数法则求简单函数和简单复合函数的导数,运用导数研究简单函数的性质.
导数是瞬时变化率的数学表达,学生对导数的内涵——瞬时变化率的认识有一定难度;
同时,从平均变化率过渡到瞬时变化率得到导数概念的过程,蕴含着“用运动变化的观点研究问题”“逼近(极限)”“以直代曲”等微积分的重要思想,需要学生不断感悟.因此,导数的概念是本章的一个教学难点.在导数概念及其几何意义的得出过程中,让学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,不断渗透解决问题的思想方法,并借助具体数值和几何直观体会极限思想是突破难点的关键.由于复合函数的求导是“从外往内”分两层求导,需要准确分析复合函数的结构,而学生对复合函数的复合过程的认识存在一定的困难.因此,求简单复合函数的导数是本章的另一个教学难点.加强对复合函数的复合过程的分析,厘清复合函数中的自变量、中间变量、因变量,是突破这一难点的关键.
二、本章编写思考
1.在导数概念抽象过程中凸显导数的内涵与思想
导数概念的本质是瞬时变化率,它高度抽象,为使学生初步理解导数的内涵与思想,教科书以两个典型的变化率问题为载体,以导数概念的本质及其反映的思想方法为指引,引导学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,展开观察、分析各实例的属性的数学活动,并挖掘其中所蕴含重要思想方法,进而析出各实例中蕴含的导数的本质属性.
具体地,对于“问题1高台跳水远动员的速度”,教科书通过
探究在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:
m)与起跳后的时间t(单位:
)存在函数关系
h(t) 4.9t2
4.8t
11.
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢?
设置情境并提出问题,然后引导学生从已有经验出发,通过层层递进的问题,使学生感受用平均速度无法精确描述运动员的运动状况(在0≤t≤48这段时间内的平均速度为0,但
49
运动员几乎一直处于运动状态),体会研究瞬时速度必要性的同时,自然地提出问题:
如何求运动员的瞬时速度?
瞬时速度与平均速度有什么关系?
为了解决抽象导数概念过程中的这个关键问题,教科书构建了一个运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度v趋近于t0时刻的瞬时速度的过程,并以t0=1为例,借助技术工具,引导学生直观感受当Δt→0时平均速度v无限趋近于一个确定的数,即t0=1时刻的瞬时速度.在此过程中,使学生理解解决瞬时速度问题的方法,也使学生感受其中蕴含的极限思想.
接着,教科书让学生模仿上述求瞬时速度的过程和方法,解决运动员在其他时刻的瞬时速度,形成抽象导数概念的更多具体经验,然后再将上述过程与方法一般化,形成瞬时速度的一般形式化表示,从感性到理性,提升对解决问题的思想与方法的认识.
对于“问题2抛物线的切线的斜率”,教科书类比解决问题1的过程与方法,引导学生探究“如何定义抛物线f()=2在点P0(1,1)处的切线?
”“如何求抛物线f()=2在点P0(1,1)处的切线PT的斜率0”让学生充分经历从割线到切线、从割线斜率到切线斜
率的过程,进一步感受解决问题的过程和方法.
在详细分析两个典型变化率问题的基础上,抽象概括这两个实例在解决问题的思想方法和结果形式上的共同特征,并用这种思想方法研究一般函数=f()从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,给出导数的概念——导数是瞬时变化率的数学表达,使学生获得导数概念的同时,发展数学抽象、直观想象等素养.
2.从具体到抽象,适度进行规则的抽象概括
由于高中阶段不专门介绍极限的有关知识,因此不可能通过严格逻辑推理的方式,推导出基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则,以及导数正负与函数单调性之间关系等公式与“规则”.这样,如何以适当的方式给出这些“规则”,就成了编写教科书时需要着重思考的问题之一.
教科书从高中学生的认知规律出发,结合规则的具体特点,从具体实例出发,进而从具体到抽象、从特殊到一般给出“规则”,使得过程自然、合理,不突兀.
例如,在“基本初等函数的导数公式”中,首先根据导数的定义求6个常用的具体函数
x
=c,=,=2,=3,=1,=
的导数,在此基础上,从特殊到一般给出基本初等函数的
导数公式.
又如,在“导数的四则运算法则”中,首先对f()=2,g()=,计算
[f()g()]与[f()-g()],探究出它们与f(x)和g(x)之间的关系:
[f
()±
g()]′=f′()±
g′().进而再取几组函数,感受上述关系仍然成立.在此基础上,
从特殊到一般,给出两个函数的和(或差)的导数运算法则
[f()±
g′().
再如,在“简单复合函数的导数”中,先从两个角度研究具体函数=in2的导数.第一个角度,对in2进行恒等变形,得=2in co,进而直接利用两个函数的积的导数运算法则求出它的导数′;
第二个角度,利用函数=in2是由=inu,u=2复合而成的,猜想函数=in2的导数一定与函数=inu,u=2的导数有关,进而求出u′,u′,并考察′,u′,u′之间的关系,得到′=u′·
u′.最后,从特殊到一般,给出复合函数的求导法则:
一般地,对于由函数=f(u)和u=g()复合而成的函数=f(g()),它的导数与函数=f(u),u=g()的导数间的关系为′=u′·
u′.
对于“函数导数的正负与函数单调性的关系”,由于高中阶段不介绍微分中值定理,因此无法进行证明.教科书借助具体实例,从具体到抽象、从特殊到一般,概括出它们的共性规律,给出一般函数f()的单调性与导函数f′()的正负之间关系.具体地,首先就高
台跳水运动问题,考察运动员的重心距离水面的高度函数h(t)的单调性,与它的导数v
(t)=h′(t)的正负之间的关系;
接着,通过4
2 3 1
个具体函数=,=,=,=
的图象,进
一步探讨函数导数的正负与函数单调性的关系;
最后,从具体到抽象、从特殊到一般,概括出它们的共性规律,给出一般函数f()的单调性与导函数f′()的正负之间关系.
类似地,对于“可导函数极值点的特征”,教科书仍然采用从具体到抽象、从特殊到一般的方法,从导数的角度给出可导函数极值点的特征,得到极值的充分条件.
通过这样的“抽象概括”过程,让学生在对“规则”有一定直观感知的基础上给出“规
则”,有效化解了由于无法证明规则造成的“不严密”的问题,和规则的抽象性问题.
3.强调“逼近”过程,不断渗透极限思想
由
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 新课 标高 学人 选择性 必修 第一 二三册 教材 解读 第五 一元函数 导数 及其 应用 整体
链接地址:https://www.bdocx.com/doc/13042982.html